La transformación lineal directa ( DLT ) es un algoritmo que resuelve un conjunto de variables a partir de un conjunto de relaciones de similitud:
- por
dónde y son vectores conocidos, denota igualdad hasta una multiplicación escalar desconocida, y es una matriz (o transformación lineal) que contiene las incógnitas a resolver.
Este tipo de relación aparece con frecuencia en geometría proyectiva . Los ejemplos prácticos incluyen la relación entre los puntos 3D en una escena y su proyección en el plano de la imagen de una cámara estenopeica , [1] y las homografías .
Introducción
Un sistema ordinario de ecuaciones lineales.
- por
se puede resolver, por ejemplo, reescribiéndolo como una ecuación matricial donde matrices y contener los vectores y en sus respectivas columnas. Dado que existe una solución única, está dada por
Las soluciones también se pueden describir en el caso de que las ecuaciones estén sobre o subdeterminadas.
Lo que hace que el problema de la transformación lineal directa sea distinto del caso estándar anterior es el hecho de que los lados izquierdo y derecho de la ecuación definitoria pueden diferir por un factor multiplicativo desconocido que depende de k . Como consecuencia,no se puede calcular como en el caso estándar. En cambio, las relaciones de similitud se reescriben como ecuaciones lineales homogéneas adecuadas que luego pueden resolverse mediante un método estándar. La combinación de reescribir las ecuaciones de similitud como ecuaciones lineales homogéneas y resolverlas mediante métodos estándar se denomina algoritmo de transformación lineal directa o algoritmo DLT . DLT se atribuye a Ivan Sutherland. [2]
Ejemplo
Suponer que . Dejar y ser dos vectores conocidos, y queremos encontrar el matriz tal que
dónde es el factor escalar desconocido relacionado con la ecuación k .
Para deshacerse de los escalares desconocidos y obtener ecuaciones homogéneas, defina la matriz antisimétrica
y multiplica ambos lados de la ecuación con desde la izquierda
Desde las siguientes ecuaciones homogéneas, que ya no contienen los escalares desconocidos, están a la mano
Para resolver a partir de este conjunto de ecuaciones, considere los elementos de los vectores y y matriz :
- , , y
y la ecuación homogénea anterior se convierte en
- por
Esto también se puede escribir en forma de matriz:
- por
dónde y ambos son vectores de 6 dimensiones definidos como
- y
Hasta ahora, tenemos 1 ecuación y 6 incógnitas. Se puede escribir un conjunto de ecuaciones homogéneas en forma matricial
dónde es un matriz que contiene los vectores conocidos en sus filas. El desconocidopuede determinarse, por ejemplo, mediante una descomposición en valor singular de; es un vector singular derecho de correspondiente a un valor singular que es igual a cero. Una vez se ha determinado, los elementos de la matriz se puede reorganizar desde el vector . Observe que la escala de o no es importante (excepto que debe ser distinto de cero) ya que las ecuaciones definitorias ya permiten escalas desconocidas.
En la práctica, los vectores y puede contener ruido, lo que significa que las ecuaciones de similitud son solo aproximadamente válidas. Como consecuencia, puede que no haya un vector que resuelve la ecuación homogénea exactamente. En estos casos, se puede utilizar una solución de mínimos cuadrados totales eligiendo como un vector singular derecho correspondiente al valor singular más pequeño de
Casos más generales
El ejemplo anterior tiene y , pero la estrategia general para reescribir las relaciones de similitud en ecuaciones lineales homogéneas se puede generalizar a dimensiones arbitrarias para ambos y
Si y las expresiones anteriores todavía pueden conducir a una ecuación
- por
dónde ahora es Cada k proporciona una ecuación en el elementos desconocidos de y juntas estas ecuaciones se pueden escribir por lo conocido matriz y un vector bidimensional desconocido Este vector se puede encontrar de forma similar a la anterior.
En el caso más general y . La principal diferencia en comparación con anteriormente es que la matriz ahora es y anti-simétrico. Cuándo el espacio de tales matrices ya no es unidimensional, es de dimensión
Esto significa que cada valor de k proporciona M ecuaciones homogéneas del tipo
- por y para
dónde es una base M -dimensional del espacio de matrices antisimétricas.
Ejemplo p = 3
En el caso de que p = 3 las siguientes tres matrices puede ser elegido
- , ,
En este caso particular, las ecuaciones lineales homogéneas se pueden escribir como
- por
dónde es la representación matricial del producto cruzado vectorial . Observe que esta última ecuación tiene un valor vectorial; el lado izquierdo es el elemento cero en.
Cada valor de k proporciona tres ecuaciones lineales homogéneas en los elementos desconocidos de. Sin embargo, desdetiene rango = 2, como máximo dos ecuaciones son linealmente independientes. En la práctica, por lo tanto, es común usar solo dos de las tres matrices, por ejemplo, para m = 1, 2. Sin embargo, la dependencia lineal entre las ecuaciones depende de, lo que significa que en casos desafortunados hubiera sido mejor elegir, por ejemplo, m = 2,3. Como consecuencia, si el número de ecuaciones no es un problema, puede ser mejor usar las tres ecuaciones cuando la matriz esta construido.
La dependencia lineal entre las ecuaciones lineales homogéneas resultantes es una preocupación general para el caso p > 2 y debe tratarse reduciendo el conjunto de matrices antisimétricas o permitiendo hacerse más grande de lo necesario para determinar
Referencias
- ^ Abdel-Aziz, YI; Karara, HM (1 de febrero de 2015). "Transformación lineal directa de coordenadas del comparador en coordenadas del espacio de objetos en fotogrametría de corto alcance". Ingeniería fotogramétrica y teledetección . Sociedad Estadounidense de Fotogrametría y Percepción Remota. 81 (2): 103–107. doi : 10.14358 / pers.81.2.103 . ISSN 0099-1112 .
- ^ Sutherland, Ivan E. (abril de 1974), "Entrada de datos tridimensionales por tableta", Proceedings of the IEEE , 62 (4): 453–461, doi : 10.1109 / PROC.1974.9449
- Richard Hartley y Andrew Zisserman (2003). Geometría de vista múltiple en visión artificial . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-54051-3.
enlaces externos
- Estimación de homografía por Elan Dubrofsky (§2.1 esboza el "Algoritmo DLT básico")
- Un solucionador DLT basado en MATLAB por Hsiang-Jen (Johnny) Chien