Secuencia equidistribuida
En matemáticas , se dice que una secuencia ( s 1 , s 2 , s 3 , ...) de números reales está equidistribuida , o distribuida uniformemente , si la proporción de términos que caen en un subintervalo es proporcional a la longitud de ese subintervalo. Estas secuencias se estudian en la teoría de aproximación diofántica y tienen aplicaciones en la integración de Monte Carlo .
Se dice que una secuencia ( s 1 , s 2 , s 3 , ...) de números reales está equidistribuida en un intervalo no degenerado [ a , b ] si para cualquier subintervalo [ c , d ] de [ a , b ] tenemos
(Aquí, la notación | { s 1 , ..., s n } ∩ [ c , d ] | denota el número de elementos, de los primeros n elementos de la secuencia, que se encuentran entre c y d .)
Por ejemplo, si una secuencia está equidistribuida en [0, 2], dado que el intervalo [0.5, 0.9] ocupa 1/5 de la longitud del intervalo [0, 2], cuando n se vuelve grande, la proporción de los primeros n los miembros de la secuencia que caen entre 0,5 y 0,9 deben aproximarse a 1/5. En términos generales, se podría decir que es igualmente probable que cada miembro de la secuencia se encuentre en cualquier lugar de su rango. Sin embargo, esto no quiere decir que ( s n ) sea una secuencia de variables aleatorias ; más bien, es una secuencia determinada de números reales.
Definimos la discrepancia D N para una secuencia ( s 1 , s 2 , s 3 , ...) con respecto al intervalo [ a , b ] como
La equidistribución es un criterio bastante débil para expresar el hecho de que una secuencia llena el segmento sin dejar espacios. Por ejemplo, los dibujos de una variable aleatoria uniforme sobre un segmento serán equidistribuidos en el segmento, pero habrá grandes espacios en comparación con una secuencia que primero enumera múltiplos de ε en el segmento, para algunos pequeños ε, de una manera elegida apropiadamente. , y luego continúa haciendo esto para valores cada vez más pequeños de ε. Para criterios más estrictos y para construcciones de secuencias que están distribuidas de manera más uniforme, consulte la secuencia de baja discrepancia .
