En matemáticas aplicadas , la transformada discreta de Chebyshev (DCT) , que lleva el nombre de Pafnuty Chebyshev , es una de las dos variedades principales de DCT: la transformada discreta de Chebyshev en la cuadrícula de 'raíces' de los polinomios de Chebyshev del primer tipo. y la transformada discreta de Chebyshev en la cuadrícula 'extrema' de los polinomios de Chebyshev del primer tipo.
Transformada discreta de Chebyshev en la cuadrícula de raíces
La transformada de chebyshev discreta de u (x) en los puntos es dado por:
dónde:
dónde y de lo contrario.
Usando la definición de ,
y su transformación inversa:
(Esto sucede con la serie estándar de Chebyshev evaluada en la cuadrícula de raíces).
Esto se puede obtener fácilmente manipulando los argumentos de entrada a una transformada de coseno discreta.
Esto se puede demostrar utilizando el siguiente código MATLAB :
función a = fct ( f, l )% x = -cos (pi / N * ((0: N-1) '+ 1/2));f = f ( final : - 1 : 1 , :); A = tamaño ( f ); N = A ( 1 ); si existe ( 'A (3)' , 'var' ) && A ( 3 ) ~ = 1 para i = 1 : A ( 3 ) a (:,:, i ) = sqrt ( 2 / N ) * dct ( f (:,:, i )); a ( 1 ,:, i ) = a ( 1 ,:, i ) / sqrt ( 2 ); finaldemás a = raíz cuadrada ( 2 / N ) * dct ( f (:,:, i )); a ( 1 , :) = a ( 1 , :) / sqrt ( 2 ); final
De hecho, la transformada de coseno discreta (dct) se calcula utilizando un algoritmo de transformada rápida de Fourier en MATLAB.
Y la transformación inversa viene dada por el código MATLAB:
función f = ifct ( a, l )% x = -cos (pi / N * ((0: N-1) '+ 1/2)) k = tamaño ( a ); N = k ( 1 ); a = idct ( sqrt ( N / 2 ) * [ a ( 1 , :) * sqrt ( 2 ); a ( 2 : end , :)]); final
Transformada discreta de Chebyshev en la cuadrícula extrema
Esta transformación usa la cuadrícula:
Esta transformación es más difícil de implementar mediante el uso de una Transformada Rápida de Fourier (FFT). Sin embargo, se usa más ampliamente porque está en la cuadrícula extrema que tiende a ser más útil para problemas de valores de frontera. Principalmente porque es más fácil aplicar condiciones de contorno en esta cuadrícula.
Hay un discreto (y de hecho rápido porque realiza el dct usando una transformada rápida de Fourier) disponible en el intercambio de archivos MATLAB que fue creado por Greg von Winckel. Entonces se omite aquí.
En este caso, la transformada y su inversa son
dónde y de lo contrario.
Uso e implementaciones
Los usos principales de la transformada discreta de Chebyshev son la integración numérica, la interpolación y la diferenciación numérica estable. [1] Una implementación que proporciona estas características se proporciona en la biblioteca C ++ Boost [2]
Ver también
Referencias
- ^ Trefethen, Lloyd (2013). Teoría de la aproximación y práctica de la aproximación .
- ^ Thompson, Nick; Maddock, John. "Polinomios de Chebyshev" . boost.org .