En el campo matemático del análisis numérico , la interpolación de splines discretos es una forma de interpolación en la que el interpolante es un tipo especial de polinomio por partes llamado spline discreto. Un spline discreto es un polinomio a trozos, de modo que sus diferencias centrales son continuas en los nudos, mientras que un spline es un polinomio a trozos, de modo que sus derivadas son continuas en los nudos. Los splines cúbicos discretos son splines discretos donde se requiere que las diferencias centrales de los órdenes 0, 1 y 2 sean continuas. [1]
Mangasarin y Schumaker introdujeron splines discretos en 1971 como soluciones de ciertos problemas de minimización que implican diferencias. [2]
Splines cúbicos discretos
Deje x 1 , x 2 ,. . ., x n -1 ser una secuencia creciente de números reales. Sea g ( x ) un polinomio a trozos definido por
donde g 1 ( x ) ,. . ., g n ( x ) son polinomios de grado 3. Sea h > 0. Si
entonces g ( x ) se denomina spline cúbico discreto. [1]
Formulación alternativa 1
Las condiciones que definen una spline cúbica discreta son equivalentes a las siguientes:
Formulación alternativa 2
Las diferencias centrales de los órdenes 0, 1 y 2 de una función f ( x ) se definen de la siguiente manera:
Las condiciones que definen una spline cúbica discreta también son equivalentes a [1]
Esto establece que las diferencias centrales son continuas en x i .
Ejemplo
Sea x 1 = 1 y x 2 = 2 de modo que n = 3. La siguiente función define una spline cúbica discreta: [1]
Interpolante de spline cúbico discreto
Sea x 0 < x 1 y x n > x n -1 y f ( x ) una función definida en el intervalo cerrado [ x 0 - h, x n + h]. Entonces hay una única spline discreta cúbica g ( x ) que satisface las siguientes condiciones:
Esta única spline cúbica discreta es la interpolante de spline discreta af ( x ) en el intervalo [ x 0 - h, x n + h]. Este interpolador está de acuerdo con los valores de f ( x ) en x 0 , x 1 ,. . ., x n .
Aplicaciones
- Las ranuras cúbicas discretas se introdujeron originalmente como soluciones de ciertos problemas de minimización. [1] [2]
- Tienen aplicaciones en la computación de splines no lineales. [1] [3]
- Se utilizan para obtener una solución aproximada de un problema de valor límite de segundo orden. [4]
- Se han utilizado splines interpolatorios discretos para construir ondas biortogonales. [5]
Referencias
- ↑ a b c d e f Tom Lyche (1979). "Interpolación de splines cúbicos discretos". BIT . 16 (3): 281–290. doi : 10.1007 / bf01932270 .
- ^ a b Mangasarian, OL; Schumaker, LL (1971). "Splines discretos mediante programación matemática". SIAM J. Control . 9 (2): 174-183. doi : 10.1137 / 0309015 .
- ^ Michael A. Malcolm (abril de 1977). "Sobre el cálculo de funciones spline no lineales". Revista SIAM de Análisis Numérico . 14 (2): 254-282. doi : 10.1137 / 0714017 .
- ^ Fengmin Chen, Wong, PJY (diciembre de 2012). "Resolución de problemas de valor límite de segundo orden mediante splines cúbicos discretos". Control Automation Robotics & Vision (ICARCV), 12ª Conferencia Internacional de 2012 : 1800–1805.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Averbuch, AZ, Pevnyi, AB, Zheludev, VA (noviembre de 2001). "Ondas de Butterworth biorthogonales derivadas de splines interpolatorios discretos". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 49 (11): 2682–2692. CiteSeerX 10.1.1.332.7428 . doi : 10.1109 / 78.960415 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )