conjunto superior

En matemáticas , un conjunto superior (también llamado conjunto cerrado hacia arriba , un trastorno o un conjunto de isótonos en X ) ^[1] de un conjunto parcialmente ordenado ( X , ≤) es un subconjunto S ⊆ X con la siguiente propiedad: si s está en S y si x en X es mayor que s (es decir, si s ≤ x ), entonces x está en S . En palabras, esto significa que cualquier xelemento de X que es ≥ a algún elemento de S es necesariamente también un elemento de S . El término conjunto inferior (también llamado conjunto cerrado hacia abajo , conjunto descendente , conjunto decreciente , segmento inicial o semiideal ) se define de manera similar como un subconjunto S de X con la propiedad de que cualquier elemento x de X que es ≤ a algún elemento de S es necesariamente también un elemento de S .

Sea un conjunto preordenado . Un conjunto superior en (también llamado conjunto cerrado hacia arriba , un trastorno o un conjunto de isótonos ) ^[1] es un subconjunto tal que si y si satisface entonces Es decir, satisface:${\ estilo de visualización (X, \ leq)}$${\ estilo de visualización X}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\ estilo de visualización u \ en U}$${\ estilo de visualización x \ en X}$${\ estilo de visualización u \ leq x,}$${\ estilo de visualización x \ en U.}$${\ estilo de visualización U}$

La noción dual es un conjunto inferior (también llamado conjunto cerrado descendente , conjunto descendente , conjunto decreciente , segmento inicial o semiideal ), que es un subconjunto tal que si y si satisface entonces Es decir, satisface:${\displaystyle L\subseteq X}$${\ estilo de visualización l \ en L}$${\ estilo de visualización x \ en X}$${\ estilo de visualización x \ leq l,}$${\ estilo de visualización x \ en L.}$${\ estilo de visualización L}$

Los términos orden ideal o ideal a veces se usan como sinónimos de conjunto inferior. ^{[2] [3] [4]} Esta elección de terminología no refleja la noción de un ideal de una red porque un conjunto inferior de una red no es necesariamente una subred. ^[2]

Dado un elemento de un conjunto parcialmente ordenado definimos el cierre superior o cierre hacia arriba de denotado por o está definido por: ${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización (X, \ leq),}$${\ estilo de visualización x,}$${\ estilo de visualización x ^ {\ flecha arriba X},}$ ${\ estilo de visualización x ^ {\ flecha arriba},}$${\ estilo de visualización \ flecha arriba x,}$

mientras que el cierre inferior o cierre hacia abajo de x , denotado por o definido por: ${\ estilo de visualización x^{\ flecha hacia abajo X},}$ ${\ estilo de visualización x ^ {\ flecha abajo},}$${\ estilo de visualización \ flecha abajo x,}$

Un diagrama de Hasse del conjunto potencia del conjunto {1,2,3,4} con el conjunto superior ↑{1} de color verde. Los conjuntos blancos forman el conjunto inferior ↓{2,3,4}.