Álgebra de efectos
Las álgebras de efectos son álgebras parciales que abstraen las propiedades algebraicas (parciales) de los eventos que se pueden observar en la mecánica cuántica . Tres grupos de investigación diferentes en física teórica o matemáticas introdujeron estructuras equivalentes a álgebras de efectos a fines de la década de 1980 y principios de la de 1990. Desde entonces, sus propiedades matemáticas y su importancia tanto física como computacional han sido estudiadas por investigadores en física teórica , matemáticas e informática .
En 1989, Giuntini y Greuling introdujeron estructuras para estudiar las propiedades no nítidas , es decir, aquellos eventos cuánticos cuya probabilidad de ocurrir está estrictamente entre cero y uno (y, por lo tanto, no es un evento de uno u otro). [1] [2] En 1994, Chovanec y Kôpka introdujeron D-posets como posets con una operación diferencia parcialmente definida . [3] En el mismo año, se publicó el artículo de Bennet y Foulis Effect algebras and unsharp quantum logics . [4] Si bien fue este último artículo el que utilizó por primera vez el término álgebra de efectos , [5]se demostró que las tres estructuras son equivalentes. [2] La prueba del isomorfismo de categorías de D-posets y álgebras de efectos la dan, por ejemplo, Dvurecenskij y Pulmannova. [6]
El enfoque operativo de la mecánica cuántica toma el conjunto de resultados observables (experimentales) como la noción constitutiva de un sistema físico. Es decir, un sistema físico se ve como una colección de eventos que pueden ocurrir y, por lo tanto, tener un efecto medible en la realidad. Tales eventos se llaman efectos . [7] Esta perspectiva ya impone algunas restricciones a la estructura matemática que describe el sistema: necesitamos poder asociar una probabilidad a cada efecto.
En el formalismo espacial de Hilbert , los efectos corresponden a operadores autoadjuntos semidefinidos positivos que se encuentran debajo del operador de identidad en el siguiente orden parcial: si y solo si es semidefinido positivo. [5] La condición de ser positivo semidefinido garantiza que los valores esperados no sean negativos, y estar por debajo del operador de identidad produce probabilidades. Ahora podemos definir dos operaciones sobre los efectos del espacio de Hilbert: y si , donde denota el operador de identidad. Nótese que es positivo semidefinido y por debajo de lo que es, por lo que siempre está definido. Uno puede pensar en como la negación de . Si bien es siempre semidefinido positivo, no está definido para todos los pares: tenemos que restringir el dominio de definición para aquellos pares de efectos cuya suma se mantenga por debajo de la identidad. Estos pares se llaman ortogonales ; la ortogonalidad refleja la capacidad de medición simultánea de los observables.
