Marcos de Jordan y Einstein

El lagrangiano en la teoría del tensor escalar se puede expresar en el marco de Jordan en el que el campo escalar o alguna función del mismo multiplica el escalar de Ricci , o en el marco de Einstein en el que el escalar de Ricci no se multiplica por el campo escalar. Existen varias transformaciones entre estos marcos. A pesar del hecho de que estos marcos han existido durante algún tiempo, actualmente existe un acalorado debate sobre si uno, ambos o ninguno de los marcos es un marco "físico" que se puede comparar con las observaciones y los experimentos.

Ecuaciones e interpretación física

Si realizamos el cambio de escala de Weyl , los tensores de Riemann y Ricci se modifican de la siguiente manera.${\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Phi ^{-2/(d-2)}g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\sqrt {-{\tilde {g}}}}=\Phi ^{-d/(d-2)}{\sqrt {-g}}}$

${\displaystyle {\tilde {R}}=\Phi ^{2/(d-2)}\left[R+{\frac {2(d-1)}{d-2}}{\frac {\Box \Phi }{\Phi }}-{\frac {3(d-1)}{(d-2)}}\left({\frac {\nabla \Phi }{\Phi }}\right)^{2}\right]}$

Como ejemplo, considere la transformación de una acción simple del tensor escalar con un conjunto arbitrario de campos de materia acoplados mínimamente al fondo curvo.${\displaystyle \psi _{\mathrm {m} }}$

${\displaystyle S=\int d^{d}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}\Phi {\tilde {R}}+S_{\mathrm {m} }[{\tilde {g}}_{\mu \nu },\psi _{\mathrm {m} }]=\int d^{d}x{\sqrt {-g}}\left[R+{\frac {2(d-1)}{d-2}}{\frac {\Box \Phi }{\Phi }}-{\frac {3(d-1)}{(d-2)}}\left(\nabla \left(\ln \Phi \right)\right)^{2}\right]+S_{\mathrm {m} }[\Phi ^{-2/(d-2)}g_{\mu \nu },\psi _{\mathrm {m} }]}$

Los campos de tilde corresponden a cantidades en el marco de Jordan y los campos sin la tilde corresponden a campos en el marco de Einstein. Vea que la acción de la materia cambia solo en el cambio de escala de la métrica.${\displaystyle S_{\mathrm {m} }}$

Los marcos de Jordan y Einstein están construidos para simplificar ciertas partes de las ecuaciones físicas, lo que también da a los marcos y los campos que aparecen en ellos interpretaciones físicas particulares. Por ejemplo, en el marco de Einstein, las ecuaciones para el campo gravitacional serán de la forma

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=\mathrm {other\;fields} \,.}$

Es decir, pueden interpretarse como las ecuaciones de Einstein habituales con fuentes particulares en el lado derecho. De manera similar, en el límite newtoniano se recuperaría la ecuación de Poisson para el potencial newtoniano con términos fuente separados.

Sin embargo, al transformarse en el marco de Einstein, los campos de materia ahora no se acoplan simplemente al fondo, sino también al campo que ahora actúa como un potencial efectivo. Específicamente, una partícula de prueba aislada experimentará una aceleración universal de cuatro${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle a^{\mu }={\frac {-1}{d-2}}{\frac {\Phi _{,\nu }}{\Phi }}(g^{\mu \nu }+u^{\mu }u^{\nu }),}$

donde es la partícula de cuatro velocidades. Es decir, ninguna partícula estará en caída libre en el marco de Einstein.${\displaystyle u^{\mu }}$

Por otro lado, en el marco de Jordan, todos los campos de materia están acoplados mínimamente y las partículas de prueba aisladas se moverán en las geodésicas con respecto a la métrica . Esto significa que si reconstruyéramos el tensor de curvatura de Riemann mediante mediciones de la desviación geodésica, obtendríamos de hecho el tensor de curvatura en el marco de Jordan. Cuando, por otro lado, deducimos sobre la presencia de fuentes de materia a partir de lentes gravitacionales de la teoría relativista habitual, obtenemos la distribución de las fuentes de materia en el sentido del marco de Einstein.${\displaystyle \psi _{\mathrm {m} }}$${\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu \nu }}$${\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu \nu }}$

Modelos

La gravedad del marco de Jordan se puede utilizar para calcular la evolución cosmológica de rebote singular de tipo IV, para derivar la singularidad de tipo IV. ^[1]

Ver también

• Albert Einstein
• Pascual Jordan

Referencias

1. SD Odintsov, VK Oikonomou (27 de junio de 2015). "Rebotando la cosmología con la futura singularidad de la gravedad modificada". Physical Review D . 92 (2): 024016. arXiv : 1504.06866 . Código Bibliográfico : 2015PhRvD..92b4016O . doi : 10.1103 / PhysRevD.92.024016 .

• Valerio Faraoni, Edgard Gunzig, Pasquale Nardone, Transformaciones conformales en teorías gravitacionales clásicas y en cosmología, Fundam. Cosm. Phys. 20 (1999): 121, arXiv : gr-qc / 9811047 .
• Eanna E. Flanagan, La libertad de marco conforme en las teorías de la gravitación, Clase. Q. Grav. 21 (2004): 3817, arXiv : gr-qc / 0403063 .