En matemáticas , el criterio de Eisenstein da una condición suficiente para que un polinomio con coeficientes enteros sea irreducible sobre los números racionales , es decir, para que no sea factorizable en el producto de polinomios no constantes con coeficientes racionales.
Este criterio no es aplicable a todos los polinomios con coeficientes enteros que son irreducibles sobre los números racionales, pero permite en ciertos casos importantes demostrar la irreductibilidad con muy poco esfuerzo. Puede aplicarse directamente o después de la transformación del polinomio original.
Este criterio lleva el nombre de Gotthold Eisenstein . A principios del siglo XX, también se conocía como el teorema de Schönemann-Eisenstein porque Theodor Schönemann fue el primero en publicarlo. [1] [2]
entonces Q es irreducible sobre los números racionales. También será irreducible sobre los enteros, a menos que todos sus coeficientes tengan un factor no trivial en común (en cuyo caso Q como polinomio entero tendrá algún número primo, necesariamente distinto de p , como factor irreducible). La última posibilidad se puede evitar haciendo primero Q primitivo , dividiéndolo por el máximo común divisor de sus coeficientes (el contenido de Q ). Esta división no cambia si Q es reducible o no sobre los números racionales (ver Factorización de contenido parcial primitivopara detalles), y no invalidará las hipótesis del criterio para p (por el contrario podría hacer que el criterio se cumpla para algún primo, aunque no lo hiciera antes de la división).
El criterio de Eisenstein puede aplicarse directamente (es decir, usando el polinomio original) o después de la transformación del polinomio original.
Considere el polinomio Q(x) = 3 x 4 + 15 x 2 + 10 . Para que el criterio de Eisenstein se aplique a un número primo p , debe dividir los coeficientes no principales 15 y 10 , lo que significa que solo p = 5 podría funcionar, y de hecho lo hace, ya que 5 no divide el coeficiente principal 3 , y su cuadrado 25 no divide el coeficiente constante 10 . Por lo tanto, se puede concluir que Q es irreductible sobre Q (y, dado que es primitivo, sobre Zasí como). Nótese que como Q es de grado 4, esta conclusión no se podría haber establecido comprobando únicamente que Q no tiene raíces racionales (lo que elimina posibles factores de grado 1), ya que también podría ser posible una descomposición en dos factores cuadráticos.