En álgebra , el contenido de un polinomio con coeficientes enteros (o, más generalmente, con coeficientes en un dominio de factorización único ) es el máximo común divisor de sus coeficientes. La parte primitiva de dicho polinomio es el cociente del polinomio por su contenido. Así, un polinomio es el producto de su parte primitiva y su contenido, y esta factorización es única hasta la multiplicación del contenido por una unidad del anillo de los coeficientes (y la multiplicación de la parte primitiva por la inversa de la unidad). .
Un polinomio es primitivo si su contenido es igual a 1. Por tanto, la parte primitiva de un polinomio es un polinomio primitivo.
El lema de Gauss para polinomios establece que el producto de polinomios primitivos (con coeficientes en el mismo dominio de factorización único) también es primitivo. Esto implica que el contenido y la parte primitiva del producto de dos polinomios son, respectivamente, el producto de los contenidos y el producto de las partes primitivas.
Como el cálculo de los máximos divisores comunes es generalmente mucho más fácil que la factorización de polinomios , el primer paso de un algoritmo de factorización de polinomios es generalmente el cálculo de su factorización de contenido parcial primitivo (ver Factorización de polinomios § Factorización de contenido parcial primitivo ). Luego, el problema de la factorización se reduce a factorizar por separado el contenido y la parte primitiva.
El contenido y la parte primitiva se pueden generalizar a polinomios sobre los números racionales y, más generalmente, a polinomios sobre el campo de fracciones de un dominio de factorización único. Esto hace esencialmente equivalentes los problemas de calcular los máximos divisores comunes y la factorización de polinomios sobre los números enteros y de polinomios sobre los números racionales.
Sobre los enteros
Para un polinomio con coeficientes enteros, el contenido puede ser el máximo común divisor de los coeficientes o su inverso aditivo . La elección es arbitraria y puede depender de una convención adicional, que suele ser que el coeficiente principal de la parte primitiva sea positivo.
Por ejemplo, el contenido de puede ser 2 o –2, ya que 2 es el máximo común divisor de –12, 30 y -20. Si se elige 2 como contenido, la parte primitiva de este polinomio es
-y así la factorización del contenido de la parte primitiva es
Por razones estéticas, a menudo se prefiere elegir un contenido negativo, aquí –2, dando la factorización del contenido de la parte primitiva
Propiedades
En el resto de este artículo, consideramos polinomios sobre un dominio de factorización único R , que normalmente puede ser el anillo de números enteros o un anillo polinomial sobre un campo . En R , mayores divisores comunes están bien definidos, y son únicos hasta la multiplicación por una unidad de R .
El contenido c ( P ) de un polinomio P con coeficientes en R es el máximo común divisor de sus coeficientes y, como tal, se define hasta la multiplicación por una unidad. La parte primitiva pp ( P ) de P es el cociente P / c ( P ) de P por su contenido; es un polinomio con coeficientes en R , que es único hasta la multiplicación por una unidad. Si el contenido se cambia multiplicando por una unidad u , entonces la parte primitiva debe cambiarse dividiéndola por la misma unidad, para mantener la igualdad.
que se llama la factorización primitiva-parte de contenido de P .
Las principales propiedades del contenido y la parte primitiva son el resultado del lema de Gauss , que afirma que el producto de dos polinomios primitivos es primitivo, donde un polinomio es primitivo si 1 es el máximo común divisor de sus coeficientes. Esto implica:
- El contenido de un producto de polinomios es el producto de su contenido:
- La parte primitiva de un producto de polinomios es el producto de sus partes primitivas:
- El contenido de un máximo común divisor de polinomios es el máximo común divisor (en R ) de su contenido:
- La parte primitiva de un máximo común divisor de polinomios es el máximo común divisor (en R ) de sus partes primitivas:
- La factorización completa de un polinomio sobre R es el producto de la factorización (en R ) del contenido y de la factorización (en el anillo polinomial) de la parte primitiva.
La última propiedad implica que el cálculo de la factorización del contenido de la parte primitiva de un polinomio reduce el cálculo de su factorización completa a la factorización separada del contenido y la parte primitiva. Esto es generalmente interesante, porque el cálculo de la factorización del contenido de la parte prima implica solo el cálculo del máximo común divisor en R , que suele ser mucho más fácil que la factorización.
Sobre los racionales
La factorización del contenido de la parte primitiva puede extenderse a polinomios con coeficientes racionales como sigue.
Dado un polinomio P con coeficientes racionales, reescribiendo sus coeficientes con el mismo denominador común d , uno puede reescribir P como
donde Q es un polinomio con coeficientes enteros. El contenido de P es el cociente por d del contenido de Q , es decir
y la parte primitiva de P es la parte primitiva de Q :
Es fácil demostrar que esta definición no depende de la elección del denominador común, y que la factorización del contenido de la parte primitiva sigue siendo válida:
Esto muestra que cada polinomio sobre los racionales está asociado con un polinomio primitivo único sobre los enteros, y que el algoritmo euclidiano permite el cálculo de este polinomio primitivo.
Una consecuencia es que factorizar polinomios sobre los racionales es equivalente a factorizar polinomios primitivos sobre los números enteros. Como los polinomios con coeficientes en un campo son más comunes que los polinomios con coeficientes enteros, puede parecer que esta equivalencia puede usarse para factorizar polinomios con coeficientes enteros. De hecho, la verdad es exactamente lo contrario: todo algoritmo eficiente conocido para factorizar polinomios con coeficiente racional utiliza esta equivalencia para reducir el problema módulo algún número primo p (ver Factorización de polinomios ).
Esta equivalencia también se utiliza para calcular los máximos divisores comunes de polinomios, aunque el algoritmo euclidiano se define para polinomios con coeficientes racionales. De hecho, en este caso, el algoritmo euclidiano requiere que uno calcule la forma reducida de muchas fracciones, y esto hace que el algoritmo euclidiano sea menos eficiente que los algoritmos que funcionan solo con polinomios sobre los números enteros (ver Polinomio máximo común divisor ).
Sobre un campo de fracciones
Los resultados de la sección anterior siguen siendo válidas si el anillo de los enteros y el campo de los racionales se sustituyen, respectivamente, por cualquier único dominio de factorización R y su cuerpo de fracciones K .
Esto se usa típicamente para factorizar polinomios multivariados y para probar que un anillo polinomial sobre un dominio de factorización único es también un dominio de factorización único.
Propiedad de factorización única de anillos polinomiales
Un anillo polinomial sobre un campo es un dominio de factorización único. Lo mismo es cierto para un anillo polinomial sobre un dominio de factorización único. Para probar esto, basta considerar el caso univariado , ya que el caso general puede deducirse por una recurrencia sobre el número de indeterminados.
La propiedad de factorización única es una consecuencia directa del lema de Euclides : si un elemento irreducible divide un producto, entonces divide uno de los factores. Para polinomios univariados sobre un campo, esto resulta de la identidad de Bézout , que a su vez resulta del algoritmo euclidiano .
Por lo tanto, dejar que R sea un dominio de factorización única, que no es un campo, y R [ X ] el univariado anillo de polinomios sobre R . Un elemento irreducible r en R [ X ] es un elemento irreducible en R o un polinomio primitivo irreducible.
Si r está en R y divide un producto de dos polinomios, luego divide el contenido Así, según el lema de Euclides en R , divide uno de los contenidos y, por tanto, uno de los polinomios.
Si r no es R , es un polinomio primitivo (porque es irreducible). Entonces el lema de Euclides en R [ X ] resultados inmediatamente desde el lema de Euclides en K [ X ] , donde K es el campo de las fracciones de R .
Factorización de polinomios multivariados
Para factorizar un polinomio multivariado sobre un campo o sobre los enteros, se puede considerar como un polinomio univariante con coeficientes en un anillo polinomial con uno menos indeterminado. Entonces la factorización se reduce a factorizar por separado la parte primitiva y el contenido. Como el contenido tiene uno menos indeterminado, se puede factorizar aplicando el método de forma recursiva . Para factorizar la parte primitiva, el método estándar consiste en sustituir enteros por los indeterminados de los coeficientes de forma que no cambie el grado en la variable restante, factorizar el polinomio univariante resultante y elevar el resultado a una factorización de la parte primitiva. .
Ver también
- Teorema de la raíz racional
Referencias
- B. Hartley ; A Hawkes (1970). Anillos, módulos y álgebra lineal . Chapman y Hall. ISBN 0-412-09810-5.
- Página 181 de Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
- David Sharpe (1987). Anillos y factorización . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 68–69 . ISBN 0-521-33718-6.