ley de Coulomb

Ley física fundamental del electromagnetismo

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La magnitud de la fuerza electrostática F entre dos cargas puntuales q ₁ y q ₂ es directamente proporcional al producto de las magnitudes de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Las cargas iguales se repelen entre sí y las cargas opuestas se atraen mutuamente.

La ley de Coulomb , o ley del cuadrado inverso de Coulomb , es una ley experimental ^[1] de la física que cuantifica la cantidad de fuerza entre dos partículas estacionarias cargadas eléctricamente . La fuerza eléctrica entre cuerpos cargados en reposo se denomina convencionalmente fuerza electrostática o fuerza de Coulomb . ^[2] Aunque la ley se conocía antes, fue publicada por primera vez en 1785 por el físico francés Charles-Augustin de Coulomb , de ahí el nombre. La ley de Coulomb fue esencial para el desarrollo de la teoría del electromagnetismo , tal vez incluso su punto de partida, ^[1]ya que hizo posible discutir la cantidad de carga eléctrica de una manera significativa. ^[3]

La ley establece que la magnitud de la fuerza electrostática de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las magnitudes de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas, ^[4]

${\displaystyle |F|=k_{\text{e}}{\frac {|q_{1}q_{2}|}{r^{2}}}}$

Aquí, k _e es la constante de Coulomb ( k _e ≈8,988 × 10 ⁹  N⋅m ² ⋅C ⁻² ), ^[1] q ₁ y q ₂ son las magnitudes con signo de las cargas, y el escalar r es la distancia entre las cargas.

La fuerza está a lo largo de la línea recta que une las dos cargas. Si las cargas tienen el mismo signo, la fuerza electrostática entre ellas es repulsiva; si tienen diferentes signos, la fuerza entre ellos es atractiva.

Al ser una ley del inverso del cuadrado , la ley es análoga a la ley del inverso del cuadrado de la gravitación universal de Isaac Newton , pero las fuerzas gravitacionales siempre son atractivas, mientras que las fuerzas electrostáticas pueden ser atractivas o repulsivas. ^[2] La ley de Coulomb se puede utilizar para derivar la ley de Gauss y viceversa. En el caso de una sola carga puntual estacionaria, las dos leyes son equivalentes y expresan la misma ley física de diferentes maneras. ^[5] La ley ha sido probada extensamente y las observaciones han confirmado la ley en la escala de 10 ⁻¹⁶ ma 10 ⁸ m. ^[5]

Historia

Charles-Augustin de Coulomb

Las culturas antiguas del Mediterráneo sabían que ciertos objetos, como varillas de ámbar , se podían frotar con piel de gato para atraer objetos ligeros como plumas y papeles. Tales de Mileto hizo la primera descripción registrada de la electricidad estática alrededor del año 600 aC, ^[6] cuando notó que la fricción podía convertir una pieza de ámbar en magnético. ^{[7] [8]}

En 1600, el científico inglés William Gilbert hizo un estudio cuidadoso de la electricidad y el magnetismo, distinguiendo el efecto de la piedra imán de la electricidad estática producida al frotar el ámbar. ^[7] Acuñó la nueva palabra latina electricus ("de ámbar" o "como ámbar", de ἤλεκτρον [ elektron ], la palabra griega para "ámbar") para referirse a la propiedad de atraer objetos pequeños después de ser frotados. ^[9] Esta asociación dio lugar a las palabras en inglés "electric" y "electric", que hicieron su primera aparición impresa en Thomas Browne .s Pseudodoxia Epidemica de 1646.^[10]

Los primeros investigadores del siglo XVIII que sospechaban que la fuerza eléctrica disminuía con la distancia como lo hacía la fuerza de la gravedad (es decir, como el cuadrado inverso de la distancia) incluían a Daniel Bernoulli ^[11] y Alessandro Volta , quienes midieron la fuerza entre placas. de un condensador , y Franz Aepinus, quien supuso la ley del cuadrado inverso en 1758. ^[12]

Basado en experimentos con esferas cargadas eléctricamente , Joseph Priestley de Inglaterra fue uno de los primeros en proponer que la fuerza eléctrica seguía una ley del inverso del cuadrado , similar a la ley de Newton de la gravitación universal . Sin embargo, no generalizó ni dio más detalles sobre esto. ^[13] En 1767, conjeturó que la fuerza entre cargas variaba como el cuadrado inverso de la distancia. ^{[14] [15]}

Equilibrio de torsión de Coulomb

En 1769, el físico escocés John Robison anunció que, según sus mediciones, la fuerza de repulsión entre dos esferas con cargas del mismo signo variaba como x ^-2.06 . ^[dieciséis]

A principios de la década de 1770, Henry Cavendish de Inglaterra ya había descubierto, pero no publicado, la dependencia de la fuerza entre cuerpos cargados tanto en la distancia como en la carga . ^[17]

Finalmente, en 1785, el físico francés Charles-Augustin de Coulomb publicó sus tres primeros informes sobre electricidad y magnetismo donde enunciaba su ley. Esta publicación fue esencial para el desarrollo de la teoría del electromagnetismo . ^[4] Usó un balance de torsión para estudiar las fuerzas de repulsión y atracción de partículas cargadas , y determinó que la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. entre ellos.

El equilibrio de torsión consiste en una barra suspendida de su centro por una fina fibra. La fibra actúa como un resorte de torsión muy débil . En el experimento de Coulomb, el equilibrio de torsión era una varilla aislante con una bola recubierta de metal unida a un extremo, suspendida por un hilo de seda . La bola se cargó con una carga conocida de electricidad estática y se acercó una segunda bola cargada de la misma polaridad. Las dos bolas cargadas se repelieron entre sí, torciendo la fibra en un cierto ángulo, que se podía leer en una escala del instrumento.. Al saber cuánta fuerza se necesitaba para torcer la fibra a través de un ángulo dado, Coulomb pudo calcular la fuerza entre las bolas y derivar su ley de proporcionalidad del inverso del cuadrado.

Forma escalar de la ley

La ley de Coulomb puede enunciarse como una simple expresión matemática. La forma escalar da la magnitud del vector de la fuerza electrostática F entre dos cargas puntuales q ₁ y q ₂ , pero no su dirección. Si r es la distancia entre las cargas, la magnitud de la fuerza es

| F | = k e | q 1 q 2 | r 2 {\displaystyle |\mathbf {F} |=k_{\text{e}}{\frac {|q_{1}q_{2}|}{r^{2}}}}

La constante k _e se llama constante de Coulomb y es igual a 1 / 4πε ₀ , donde ε ₀ es la constante eléctrica ; k _e =8,988 × 10 ⁹  N⋅m ² ⋅C ⁻² . Si el producto q ₁ q ₂ es positivo, la fuerza entre las dos cargas es repulsiva; si el producto es negativo, la fuerza entre ellos es atractiva. ^[18]

Forma vectorial de la ley

En la imagen, el vector F ₁ es la fuerza experimentada por q ₁ y el vector F ₂ es la fuerza experimentada por q ₂ . Cuando q ₁ q ₂ > 0 las fuerzas son repulsivas (como en la imagen) y cuando q ₁ q ₂ <0 las fuerzas son atractivas (opuestas a la imagen). La magnitud de las fuerzas siempre será igual.

La ley de Coulomb en forma vectorial establece que la fuerza electrostática experimentada por una carga, en la posición , en la vecindad de otra carga, en la posición , en el vacío es igual a ^[19]${\textstyle \mathbf {F} _{1}}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {\hat {r}} _{12}}{|\mathbf {r} _{12}|^{2}}}}$

donde es la distancia vectorial entre las cargas, un señalador unidad vector de a , y la constante eléctrica .${\textstyle {\boldsymbol {r}}_{12}={\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{2}}$${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}={\frac {\mathbf {r} _{12}}{|\mathbf {r} _{12}|}}}$${\textstyle q_{2}}$${\textstyle q_{1}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

La forma de vector de la ley de Coulomb es simplemente la definición escalar de la ley con la dirección dada por el vector unitario , , paralelo con la línea de carga a carga . ^[20] Si ambas cargas tienen el mismo signo (cargas iguales), entonces el producto es positivo y la dirección de la fuerza está dada por ; las cargas se repelen entre sí. Si las cargas tienen signos opuestos, entonces el producto es negativo y la dirección de la fuerza es ; las cargas se atraen entre sí.${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}}$${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{1}q_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}}$${\displaystyle q_{1}q_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$${\textstyle -{\hat {\mathbf {r} }}_{12}}$

La fuerza electrostática experimentada por , según la tercera ley de Newton , es .${\textstyle \mathbf {F} _{2}}$${\displaystyle q_{2}}$${\textstyle \mathbf {F} _{2}=-\mathbf {F} _{1}}$

Sistema de cargos discretos

La ley de superposición permite extender la ley de Coulomb para incluir cualquier número de cargas puntuales. La fuerza que actúa sobre una carga puntual debido a un sistema de cargas puntuales es simplemente la suma vectorial de las fuerzas individuales que actúan solas sobre esa carga puntual debido a cada una de las cargas. El vector de fuerza resultante es paralelo al vector de campo eléctrico en ese punto, con esa carga puntual eliminada.

La fuerza sobre una pequeña carga en la posición , debido a un sistema de cargas discretas en el vacío es ^[19]${\textstyle \mathbf {F} }$${\displaystyle q}$${\textstyle \mathbf {r} }$${\textstyle N}$

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}{{\hat {\mathbf {R} }}_{i} \over |\mathbf {R} _{i}|^{2}}}$,

donde y son la magnitud y la posición respectivamente de la i- ésima carga, es un vector unitario en la dirección de , un vector que apunta desde las cargas hacia . ^[20]${\displaystyle q_{i}}$${\textstyle \mathbf {r} _{i}}$${\textstyle {\hat {\mathbf {R} }}_{i}}$${\textstyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle q}$

Distribución de carga continua

En este caso, también se utiliza el principio de superposición lineal . Para una distribución de carga continua, una integral sobre la región que contiene la carga es equivalente a una suma infinita, tratando cada elemento infinitesimal del espacio como una carga puntual . La distribución de carga suele ser lineal, superficial o volumétrica.${\displaystyle \mathrm {d} q}$

Para una distribución de carga lineal (una buena aproximación para la carga en un cable) donde da la carga por unidad de longitud en la posición , y es un elemento infinitesimal de longitud,${\displaystyle \lambda (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathrm {d} \ell '}$

${\displaystyle \mathrm {d} q'=\lambda (\mathbf {r'} )\,\mathrm {d} \ell '.}$^[21]

Para una distribución de carga superficial (una buena aproximación para la carga en una placa en un capacitor de placas paralelas ) donde da la carga por unidad de área en la posición , y es un elemento infinitesimal de área,${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathrm {d} A'}$

${\displaystyle \mathrm {d} q'=\sigma (\mathbf {r'} )\,\mathrm {d} A'.}$

Para una distribución de carga de volumen (como la carga dentro de un metal a granel) donde da la carga por unidad de volumen en la posición , y es un elemento infinitesimal de volumen,${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathrm {d} V'}$

${\displaystyle \mathrm {d} q'=\rho ({\boldsymbol {r'}})\,dV'.}$^[20]

La fuerza sobre una pequeña carga de prueba en la posición en el vacío viene dada por la integral sobre la distribución de la carga:${\displaystyle q}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\int \mathrm {d} q'{\mathbf {r} -\mathbf {r'} \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}.}$

Constante de Coulomb

Artículo principal: constante de Coulomb

La constante de Coulomb es un factor de proporcionalidad que aparece tanto en la ley de Coulomb como en otras fórmulas relacionadas con la electricidad. Denominada , también se llama constante de fuerza eléctrica o constante electrostática ^{[22], de} ahí el subíndice . Cuando la teoría electromagnética se expresa en el Sistema Internacional de Unidades , la fuerza se mide en newtons , la carga en culombios y la distancia en metros . La constante de Coulomb está dada por . La constante es la permitividad eléctrica de vacío (también conocida como "constante eléctrica") ^[23] pulg . No debe confundirse con${\displaystyle k_{e}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle k_{e}={\tfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \mathrm {C^{2}\cdot m^{-2}\cdot N^{-1}} }$${\displaystyle \varepsilon _{r}}$, que es la permitividad relativa adimensional del material en el que se sumergen las cargas, o con su producto , que se denomina " permitividad absoluta del material" y todavía se utiliza en ingeniería eléctrica .${\displaystyle \varepsilon _{a}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}$

Antes de la redefinición de 2019 de las unidades base del SI , se consideraba que la constante de Coulomb tenía un valor exacto:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{\text{e}}&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}={\frac {c_{0}^{2}\mu _{0}}{4\pi }}=c_{0}^{2}\times 10^{-7}\ \mathrm {H\,m^{-1}} \\&=8.987\,551\,787\,368\,176\,4\times 10^{9}\ \mathrm {N\,m^{2}\,C^{-2}} .\end{aligned}}}$

Desde la redefinición de 2019, ^{[24] [25]} la constante de Coulomb ya no está exactamente definida y está sujeta al error de medición en la constante de estructura fina. Calculado a partir de los valores recomendados por CODATA 2018, la constante de Coulomb es ^[26]

${\displaystyle k_{\text{e}}=8.987\,551\,792\,3\,(14)\times 10^{9}\ \mathrm {N\,m^{2}\,C^{-2}} .}$

En las unidades gaussianas y las unidades de Lorentz-Heaviside , que son sistemas de unidades CGS , la constante tiene valores adimensionales diferentes .

En unidades electrostáticas o unidades gaussianas la carga unitaria ( esu o statcoulomb ) se define de tal manera que la constante de Coulomb desaparece, ya que tiene el valor de uno y se vuelve adimensional.

${\displaystyle k_{\text{e}}=1}$ (Unidades gaussianas).

En las unidades de Lorentz-Heaviside, también llamadas unidades racionalizadas , la constante de Coulomb es adimensional y es igual a

${\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi }}}$ (Unidades de Lorentz-Heaviside)

Las unidades gaussianas son más adecuadas para problemas microscópicos como la electrodinámica de partículas individuales cargadas eléctricamente. ^{[27] Las} unidades SI son más convenientes para fenómenos prácticos a gran escala, como aplicaciones de ingeniería. ^[27]

Limitaciones

Hay tres condiciones que deben cumplirse para la validez de la ley del cuadrado inverso de Coulomb: ^[28]

1. Las cargas deben tener una distribución esféricamente simétrica (por ejemplo, ser cargas puntuales o una esfera de metal cargada).
2. Los cargos no deben superponerse (por ejemplo, deben ser cargos puntuales distintos).
3. Las cargas deben estar estacionarias entre sí.

El último de ellos se conoce como aproximación electrostática . Cuando el movimiento se lleva a cabo, Einstein 's teoría de la relatividad debe ser tomado en consideración, y un resultado, se introduce un factor adicional, que altera la fuerza producida en los dos objetos. Esta parte extra de la fuerza se llama fuerza magnética y se describe mediante campos magnéticos . Para movimientos lentos, la fuerza magnética es mínima y la ley de Coulomb todavía puede considerarse aproximadamente correcta, pero cuando las cargas se mueven más rápidamente entre sí, se deben considerar las reglas electrodinámicas completas (que incorporan la fuerza magnética).

Campo eléctrico

Artículo principal: Campo eléctrico

Si dos cargas tienen el mismo signo, la fuerza electrostática entre ellas es repulsiva; si tienen un signo diferente, la fuerza entre ellos es atractiva.

Un campo eléctrico es un campo vectorial que asocia a cada punto del espacio la fuerza de Coulomb experimentada por una carga de prueba unitaria . ^[19] La fuerza y ​​la dirección de la fuerza de Coulomb sobre una carga depende del campo eléctrico establecido por otras cargas en las que se encuentra, de modo que . En el caso más simple, se considera que el campo está generado únicamente por una carga puntual de fuente única . De manera más general, el campo puede generarse mediante una distribución de cargas que contribuyen al total mediante el principio de superposición .${\textstyle \mathbf {F} }$${\textstyle q_{t}}$${\textstyle \mathbf {E} }$${\textstyle \mathbf {F} =q_{t}\mathbf {E} }$

Si el campo es generado por una carga puntual de fuente positiva , la dirección del campo eléctrico apunta a lo largo de líneas dirigidas radialmente hacia afuera, es decir, en la dirección en la que se movería una carga de prueba de punto positivo si se colocara en el campo. Para una carga de fuente puntual negativa, la dirección es radialmente hacia adentro.${\textstyle q}$${\textstyle q_{t}}$

La magnitud del campo eléctrico E se puede derivar de la ley de Coulomb . Al elegir una de las cargas puntuales como fuente y la otra como carga de prueba, de la ley de Coulomb se deduce que la magnitud del campo eléctrico E creado por una carga puntual fuente única Q a una cierta distancia de ella r en el vacío está dado por

${\displaystyle |\mathbf {E} |={k_{e}}{|q| \over r^{2}}}$

Un sistema N de cargas estacionadas produce un campo eléctrico cuya magnitud y dirección es, por superposición${\displaystyle q_{i}}$${\textstyle \mathbf {r} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}}$

Fuerzas atómicas

Ver también: explosión de Coulomb

La ley de Coulomb se mantiene incluso dentro de los átomos , describiendo correctamente la fuerza entre el núcleo atómico cargado positivamente y cada uno de los electrones cargados negativamente . Esta simple ley también explica correctamente las fuerzas que unen a los átomos para formar moléculas y las fuerzas que unen átomos y moléculas para formar sólidos y líquidos. Generalmente, a medida que aumenta la distancia entre iones , la fuerza de atracción y la energía de enlace se acercan a cero y el enlace iónico es menos favorable. A medida que aumenta la magnitud de las cargas opuestas, aumenta la energía y la unión iónica es más favorable.

Relación con la ley de Gauss

Derivando la ley de Gauss de la ley de Coulomb

Estrictamente hablando, la ley de Gauss no puede derivarse únicamente de la ley de Coulomb, ya que la ley de Coulomb da el campo eléctrico debido a una carga puntual individual únicamente. Sin embargo, la ley de Gauss puede probarse a partir de la ley de Coulomb si se supone, además, que el campo eléctrico obedece al principio de superposición . El principio de superposición dice que el campo resultante es la suma vectorial de los campos generados por cada partícula (o la integral, si las cargas se distribuyen suavemente en el espacio).

Esquema de la prueba

La ley de Coulomb establece que el campo eléctrico debido a una carga puntual estacionaria es: ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}}$ donde e r es el vector unitario radial, r es el radio, | r | , ε 0 es la constante eléctrica , q es la carga de la partícula, que se supone que está ubicada en el origen . Usando la expresión de la ley de Coulomb, obtenemos el campo total en r usando una integral para sumar el campo en r debido a la carga infinitesimal en cada uno de los otros puntos s en el espacio, para dar ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,\mathbf {d} ^{3}\mathbf {s} }$ donde ρ es la densidad de carga. Si tomamos la divergencia de ambos lados de esta ecuación con respecto a r , y usamos el teorema conocido [29] ${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )}$ donde δ ( r ) es la función delta de Dirac , el resultado es ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,\mathbf {d} ^{3}\mathbf {s} }$ Usando la " propiedad de cribado " de la función delta de Dirac, llegamos a ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},}$ que es la forma diferencial de la ley de Gauss, según se desee.

Tenga en cuenta que dado que la ley de Coulomb solo se aplica a cargas estacionarias, no hay razón para esperar que la ley de Gauss se mantenga para cargas en movimiento basándose únicamente en esta derivación. De hecho, la ley de Gauss es válida para cargas móviles y, a este respecto, la ley de Gauss es más general que la ley de Coulomb.

Derivando la ley de Coulomb de la ley de Gauss

Estrictamente hablando, la ley de Coulomb no puede derivarse únicamente de la ley de Gauss, ya que la ley de Gauss no proporciona ninguna información sobre el rizo de E (ver descomposición de Helmholtz y ley de Faraday ). Sin embargo, la ley de Coulomb se puede probar a partir de la ley de Gauss si se supone, además, que el campo eléctrico de una carga puntual es esféricamente simétrico (esta suposición, como la propia ley de Coulomb, es exactamente cierta si la carga es estacionaria y aproximadamente verdadera si la carga está en movimiento).

Esquema de la prueba

Tomando S en la forma integral de la ley de Gauss como una superficie esférica de radio r , centrada en el punto de carga Q , tenemos ${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$ Suponiendo una simetría esférica, el integrando es una constante que se puede sacar de la integral. El resultado es ${\displaystyle 4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$ donde r̂ es un vector unitario que apunta radialmente en dirección opuesta a la carga. Nuevamente por simetría esférica, E apunta en la dirección radial, y así obtenemos ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$ que es esencialmente equivalente a la ley de Coulomb. Así, la dependencia de la ley del inverso del cuadrado del campo eléctrico en la ley de Coulomb se sigue de la ley de Gauss.

Potencial de Coulomb

Ver también: potencial eléctrico

Teoría cuántica de campos

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El diagrama de Feynman más básico para la interacción QED entre dos fermiones

El potencial de Coulomb admite estados continuos (con E> 0), que describen la dispersión electrón-protón , así como estados ligados discretos, que representan el átomo de hidrógeno. ^[30] También se puede derivar dentro del límite no relativista entre dos partículas cargadas, de la siguiente manera:

Según la aproximación de Born , en la mecánica cuántica no relativista, la amplitud de dispersión es:${\textstyle {\mathcal {A}}(|{\overrightarrow {p}}\rangle \to |{\overrightarrow {p}}'\rangle )}$

$${\displaystyle {\mathcal {A}}(|{\overrightarrow {p}}\rangle \to |{\overrightarrow {p}}'\rangle )-1=2\pi \delta (E_{p}-E_{p'})(-\mathrm {i} )\int \mathrm {d} ^{3}rV({\vec {r}})\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} ({\vec {p}}-{\vec {p}}'){\vec {r}}}}$$

Esto debe compararse con:

$${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr_{0}}\langle p',k|S|p,k\rangle }$$

donde miramos la entrada de la matriz S (conectada) para dos electrones que se dispersan entre sí, tratando uno con un momento "fijo" como la fuente del potencial, y el otro dispersando ese potencial.

Usando las reglas de Feynman para calcular el elemento de la matriz S, obtenemos en el límite no relativista con ${\displaystyle m_{0}\gg |{\vec {p}}|}$

$${\displaystyle \langle p',k|S|p,k\rangle |_{conn}=-\mathrm {i} {\frac {e^{2}}{|{\vec {p}}-{\vec {p}}'|^{2}-\mathrm {i} \epsilon }}(2m)^{2}\delta (E_{p,k}-E_{p',k})(2\pi )^{4}\delta ({\vec {p}}-{\vec {p}}')}$$

Comparando con la dispersión QM, tenemos que descartar los que surgen debido a las diferentes normalizaciones del estado propio del impulso en QFT en comparación con QM y obtener:${\displaystyle (2m)^{2}}$

${\displaystyle \int V({\vec {r}})\mathbf {e} ^{-\mathbf {i} ({\vec {p}}-{\vec {p}}'){\vec {r}}}\mathbf {d} ^{3}r={\frac {e^{2}}{|{\vec {p}}-{\vec {p}}'|^{2}-\mathbf {i} \epsilon }}}$donde Fourier transformando ambos lados, resolviendo la integral y tomando al final dará como resultado${\displaystyle \epsilon \to 0}$

${\displaystyle V(r)={\frac {e^{2}}{4\pi r}}}$como el potencial de Coulomb. ^[31]

Sin embargo, se cree que los resultados equivalentes de las derivaciones clásicas de Born para el problema de Coulomb son estrictamente accidentales. ^{[32] [33]}

El potencial de Coulomb, y su derivación, pueden verse como un caso especial del potencial Yukawa , que es el caso en el que el bosón intercambiado, el fotón, no tiene masa en reposo. ^[30]

Experimento simple para verificar la ley de Coulomb

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Experimento para verificar la ley de Coulomb.

Es posible verificar la ley de Coulomb con un simple experimento. Considere dos esferas pequeñas de masa y carga del mismo signo , que cuelgan de dos cuerdas de una masa de longitud insignificante . Las fuerzas que actúan sobre cada esfera son tres: el peso , la tensión de la cuerda y la fuerza eléctrica . En el estado de equilibrio: ${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$${\displaystyle l}$${\displaystyle mg}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle \mathbf {T} \sin \theta _{1}=\mathbf {F} _{1}}$

( 1 )

y

${\displaystyle \mathbf {T} \cos \theta _{1}=mg}$

( 2 )

Dividiendo ( 1 ) por ( 2 ):

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\cos \theta _{1}}}={\frac {F_{1}}{mg}}\Rightarrow F_{1}=mg\tan \theta _{1}}$

( 3 )

Sea la distancia entre las esferas cargadas; la fuerza de repulsión entre ellos , asumiendo que la ley de Coulomb es correcta, es igual a${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$

${\displaystyle F_{1}={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}}$

( Ley de Coulomb )

asi que:

${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}=mg\tan \theta _{1}\,\!}$

( 4 )

Si ahora descargamos una de las esferas, y la ponemos en contacto con la esfera cargada, cada una de ellas adquiere una carga . En el estado de equilibrio, la distancia entre las cargas será y la fuerza de repulsión entre ellas será:${\textstyle {\frac {q}{2}}}$${\textstyle \mathbf {L} _{2}<\mathbf {L} _{1}}$

${\displaystyle F_{2}={\frac {{({\frac {q}{2}})}^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}={\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}\,\!}$

( 5 )

Lo sabemos y:${\displaystyle \mathbf {F} _{2}=mg\tan \theta _{2}}$

${\displaystyle {\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg\tan \theta _{2}}$

Dividiendo ( 4 ) entre ( 5 ), obtenemos:

${\displaystyle {\frac {\left({\cfrac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}\right)}{\left({\cfrac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}\right)}}={\frac {mg\tan \theta _{1}}{mg\tan \theta _{2}}}\Rightarrow 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}={\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}}$

( 6 )

Medir los ángulos y y la distancia entre las cargas y es suficiente para verificar que la igualdad es cierta teniendo en cuenta el error experimental. En la práctica, los ángulos pueden ser difíciles de medir, por lo que si la longitud de las cuerdas es lo suficientemente grande, los ángulos serán lo suficientemente pequeños para hacer la siguiente aproximación:${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {L} _{2}}$

${\displaystyle \tan \theta \approx \sin \theta ={\frac {\frac {L}{2}}{\ell }}={\frac {L}{2\ell }}\Rightarrow {\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}\approx {\frac {\frac {L_{1}}{2\ell }}{\frac {L_{2}}{2\ell }}}}$

( 7 )

Usando esta aproximación, la relación ( 6 ) se convierte en la expresión mucho más simple:

${\displaystyle {\frac {\frac {L_{1}}{2\ell }}{\frac {L_{2}}{2\ell }}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Rightarrow \,\!}$ ${\displaystyle {\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Rightarrow {\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx {\sqrt[{3}]{4}}\,\!}$

( 8 )

De esta forma, la verificación se limita a medir la distancia entre las cargas y comprobar que la división se aproxima al valor teórico.

Ver también

Artículos sobre
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Electrostática Carga eléctrica ley de Coulomb Conductor Cargar densidad Permitividad Momento dipolo eléctrico Campo eléctrico Potencial eléctrico Flujo eléctrico  / energía potencial Descarga electrostática Ley de Gauss Inducción Aislante Densidad de polarización Electricidad estática Triboelectricidad
Magnetostática Ley de Ampère Ley de Biot-Savart Ley de Gauss para el magnetismo Campo magnético Flujo magnético Momento dipolar magnético Permeabilidad magnética Potencial escalar magnético Magnetización Fuerza magnetomotriz Potencial de vector magnético Regla de la mano derecha
Electrodinámica Ley de fuerza de Lorentz Inducción electromagnética Ley de Faraday Ley de Lenz Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell Campo electromagnetico Pulso electromagnetico Radiación electromagnética Tensor de Maxwell Vector de poynting Potencial de Liénard – Wiechert Ecuaciones de Jefimenko Corriente de Foucault Ecuaciones de Londres Descripciones matemáticas del campo electromagnético.
Red eléctrica Corriente alterna Capacidad Corriente continua Corriente eléctrica Electrólisis Densidad actual Calentamiento Joule Fuerza electromotriz Impedancia Inductancia Ley de Ohm Circuito paralelo Resistencia Cavidades resonantes Circuito en serie Voltaje Guías de ondas
Formulación covariante Tensor electromagnético ( tensor de tensión-energía ) Cuatro corrientes Electromagnético de cuatro potenciales
Científicos Amperio Biot Culombio Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Enrique Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Cantante Tesla Volta Weber Poisson
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• Ley de Biot-Savart
• Darwin Lagrangiano
• Fuerza electromagnetica
• Ley de Gauss
• Método de carga de imágenes
• Modelado molecular
• Ley de Newton de la gravitación universal , que utiliza una estructura similar, pero para masa en lugar de carga.
• Fuerzas estáticas e intercambio de partículas virtuales

Referencias

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4. Coulomb (1785) "Premier mémoire sur l'électricité et le magnétisme", Histoire de l'Académie Royale des Sciences , págs. 569-577 - Coulomb estudió la fuerza repulsiva entre cuerpos que tienen cargas eléctricas del mismo signo:

   Il résulte donc de ces trois essais, que l'action répulsive que les deux balles électrifées de la même nature d'électricité exercent l'une sur l'autre, traje la raison inverse du carré des distancias. Traducción: De estas tres pruebas se deduce, por tanto, que la fuerza repulsiva que ejercen las dos bolas, [que estaban] electrificadas con el mismo tipo de electricidad, una sobre la otra, sigue la proporción inversa del cuadrado de la distancia.

   -  Coulomb (1785b) "Second mémoire sur l'électricité et le magnétisme", Histoire de l'Académie Royale des Sciences , páginas 578–611

   Coulomb también mostró que los cuerpos con cargas opuestas obedecen a una ley de atracción del cuadrado inverso.

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    En las páginas 111 y 112, el autor afirma: "Por tanto, podemos concluir que la atracción y la repulsión eléctricas deben ser inversamente a alguna potencia de la distancia entre la del 2 + 1 ⁄ 50 y la del 2 - 1 ⁄ 50 , y no hay razón para pensar que difiera en absoluto de la relación inversa de duplicados ".
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Lectura relacionada

• Coulomb, Charles Augustin (1788) [1785]. "Premier mémoire sur l'électricité et le magnétisme" . Histoire de l'Académie Royale des Sciences . Imprimerie Royale. págs. 569–577.
• Coulomb, Charles Augustin (1788) [1785]. "Second mémoire sur l'électricité et le magnétisme" . Histoire de l'Académie Royale des Sciences . Imprimerie Royale. págs. 578–611.
• Coulomb, Charles Augustin (1788) [1785]. "Troisième mémoire sur l'électricité et le magnétisme" . Histoire de l'Académie Royale des Sciences . Imprimerie Royale. págs. 612–638.
• Griffiths, David J. (1999). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.
• Tamm, Igor E. (1979) [1976]. Fundamentos de la teoría de la electricidad (9ª ed.). Moscú: Mir. pp.  23 -27.
• Tipler, Paul A .; Mosca, Gene (2008). Física para científicos e ingenieros (6ª ed.). Nueva York: WH Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-8964-2. LCCN  2007010418 .
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enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la ley de Coulomb .

• Ley de Coulomb sobre el proyecto PHYSNET
• La electricidad y el átomo: un capítulo de un libro de texto en línea
• Un juego de laberinto para enseñar la ley de Coulomb, un juego creado por el software Molecular Workbench
• Cargas eléctricas, polarización, fuerza eléctrica, ley de Coulomb Walter Lewin, 8.02 Electricidad y magnetismo, primavera de 2002: Conferencia 1 (video). MIT OpenCourseWare. Licencia: Creative Commons Reconocimiento-No comercial-Compartir por igual.