Matrices de duplicación y eliminación

En matemáticas , especialmente en álgebra lineal y teoría de matrices , la matriz de duplicación y la matriz de eliminación son transformaciones lineales que se utilizan para transformar semivectorizaciones de matrices en vectorizaciones o (respectivamente) viceversa.

Matriz de duplicación

La matriz de duplicación es la matriz única que, para cualquier matriz simétrica , se transforma en :${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle n^{2}\times {\frac {n(n+1)}{2}}}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle vech(A)}$${\displaystyle vec(A)}$

${\displaystyle D_{n}vech(A)=vec(A)}$.

Para la matriz simétrica , esta transformación se lee${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle A=\left[{\begin{smallmatrix}a&b\\b&d\end{smallmatrix}}\right]}$

${\displaystyle D_{n}vech(A)=vec(A)\implies {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\\b\\b\\d\end{bmatrix}}}$

La fórmula explícita para calcular la matriz de duplicación de una matriz es: ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle D_{n}^{T}=\sum \limits _{i\geq j}u_{ij}(vecT_{ij})^{T}}$

Donde:

• ${\displaystyle u_{ij}}$es un vector unitario de orden que tiene el valor en la posición y 0 en otra parte;${\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (j-1)n+i-{\frac {1}{2}}j(j-1)}$
• ${\displaystyle T_{ij}}$es una matriz con 1 en la posición y y cero en otros lugares${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle (j,i)}$

Matriz de eliminación

Una matriz de eliminación es una matriz que, para cualquier matriz , se transforma en :${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}\times n^{2}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle vec(A)}$${\displaystyle vech(A)}$

${\displaystyle L_{n}vec(A)=vech(A)}$. ^[1]

Para la matriz , una opción para esta transformación viene dada por${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle A=\left[{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right]}$

${\displaystyle L_{n}vec(A)=vech(A)\implies {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\\b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\\c\\d\end{bmatrix}}}$.

Notas

1. Magnus y Neudecker (1980) , definición 3.1

Referencias

• Magnus, Jan R .; Neudecker, Heinz (1980), "La matriz de eliminación: algunos lemas y aplicaciones" , SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods , 1 (4): 422–449, doi : 10.1137 / 0601049 , ISSN  0196-5212.
• Jan R. Magnus y Heinz Neudecker (1988), Cálculo diferencial matricial con aplicaciones en estadística y econometría , Wiley. ISBN 0-471-98633-X . 
• Jan R. Magnus (1988), Estructuras lineales , Oxford University Press. ISBN 0-19-520655-X