En matemáticas , la función gamma elíptica es una generalización de la función q-gamma , que es en sí misma el análogo q de la función gamma ordinaria . Está estrechamente relacionado con una función estudiada por Jackson (1905) y puede expresarse en términos de la función triple gamma . Es dado por
Γ ( z ; pag , q ) = ∏ metro = 0 ∞ ∏ norte = 0 ∞ 1 - pag metro + 1 q norte + 1 / z 1 - pag metro q norte z . {\displaystyle \Gamma (z;p,q)=\prod _{m=0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-p^{m+1}q^{n+1}/z}{1-p^{m}q^{n}z}}.} Obedece a varias identidades:
Γ ( z ; p , q ) = 1 Γ ( p q / z ; p , q ) {\displaystyle \Gamma (z;p,q)={\frac {1}{\Gamma (pq/z;p,q)}}\,} Γ ( p z ; p , q ) = θ ( z ; q ) Γ ( z ; p , q ) {\displaystyle \Gamma (pz;p,q)=\theta (z;q)\Gamma (z;p,q)\,} y
Γ ( q z ; p , q ) = θ ( z ; p ) Γ ( z ; p , q ) {\displaystyle \Gamma (qz;p,q)=\theta (z;p)\Gamma (z;p,q)\,} donde θ es la función q-theta .
Cuando , esencialmente se reduce al símbolo infinito q-Pochhammer : p = 0 {\displaystyle p=0}
Γ ( z ; 0 , q ) = 1 ( z ; q ) ∞ . {\displaystyle \Gamma (z;0,q)={\frac {1}{(z;q)_{\infty }}}.} Fórmula de multiplicación Definir
Γ ~ ( z ; p , q ) := ( q ; q ) ∞ ( p ; p ) ∞ ( θ ( q ; p ) ) 1 − z ∏ m = 0 ∞ ∏ n = 0 ∞ 1 − p m + 1 q n + 1 − z 1 − p m q n + z . {\displaystyle {\tilde {\Gamma }}(z;p,q):={\frac {(q;q)_{\infty }}{(p;p)_{\infty }}}(\theta (q;p))^{1-z}\prod _{m=0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-p^{m+1}q^{n+1-z}}{1-p^{m}q^{n+z}}}.} Entonces la siguiente fórmula es válida con ( Felder y Varchenko (2003) ). r = q n {\displaystyle r=q^{n}} harvtxt error: no target: CITEREFFelderVarchenko2003 (help )
Γ ~ ( n z ; p , q ) Γ ~ ( 1 / n ; p , r ) Γ ~ ( 2 / n ; p , r ) ⋯ Γ ~ ( ( n − 1 ) / n ; p , r ) = ( θ ( r ; p ) θ ( q ; p ) ) n z − 1 Γ ~ ( z ; p , r ) Γ ~ ( z + 1 / n ; p , r ) ⋯ Γ ~ ( z + ( n − 1 ) / n ; p , r ) . {\displaystyle {\tilde {\Gamma }}(nz;p,q){\tilde {\Gamma }}(1/n;p,r){\tilde {\Gamma }}(2/n;p,r)\cdots {\tilde {\Gamma }}((n-1)/n;p,r)=\left({\frac {\theta (r;p)}{\theta (q;p)}}\right)^{nz-1}{\tilde {\Gamma }}(z;p,r){\tilde {\Gamma }}(z+1/n;p,r)\cdots {\tilde {\Gamma }}(z+(n-1)/n;p,r).} Referencias Jackson, FH (1905), "La función gamma básica y las funciones elípticas", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico , The Royal Society, 76 (508): 127–144, código bibliográfico : 1905RSPSA..76..127J , doi : 10.1098 / rspa.1905.0011 ISSN 0950-1207 , JSTOR 92601 Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Serie hipergeométrica básica , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 96 (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8 MR 2128719 Ruijsenaars, SNM (1997), "Ecuaciones analíticas en diferencias de primer orden y sistemas cuánticos integrables" , Journal of Mathematical Physics 38 (2): 1069-1146, Bibcode : 1997JMP .... 38.1069R , doi : 10.1063 / 1.531809 , ISSN 0022-2488 , MR 1434226 Un gerbe para la función gamma elíptica 
