En matemáticas , el lema de Ellis-Numakura establece que si S es un semigrupo no vacío con una topología tal que S es compacto y el producto es semicontinuo, entonces S tiene un elemento idempotente p , (es decir, con pp = p ). El lema lleva el nombre de Robert Ellis y Katsui Numakura.
Aplicaciones
La aplicación de este lema a la compactación de Stone-Čech βN de los números naturales muestra que hay elementos idempotentes en βN . El producto en βN no es continuo, sino solo semicontinuo (derecho o izquierdo, según la construcción preferida, pero nunca ambos).
Prueba
- Por compacidad y el Lema de Zorn , hay un sub-semigrupo compacto no vacío mínimo de S , por lo que reemplazando S por este sub-semi grupo podemos asumir que S es mínimo.
- Elija p en S . El conjunto Sp es un subgrupo compacto no vacío, por lo que por minimidad es S y en particular contiene p , por lo que el conjunto de elementos q con qp = p no está vacío.
- El conjunto de todos los elementos q con qp = p es un semigrupo compacto, y no está vacío por el paso anterior, por lo que por minimidad es el todo de S y por lo tanto contiene p . Entonces pp = p .
Referencias
- Argyros, Spiros; Todorcevic, Stevo (2005), métodos de Ramsey en análisis , Birkhauser, p. 212, ISBN 3-7643-7264-8
- Ellis, Robert (1958), "Grupos de transformación distal". , Pacific J. Math. , 8 : 401–405, doi : 10.2140 / pjm.1958.8.401 , MR 0101283
- Numakura, Katsui (1952), "Sobre semigrupos bicompactos". , Matemáticas. Universidad J. Okayama. , 1 : 99–108, MR 0048467