En estadística , el concepto de ser un estimador invariante es un criterio que se puede utilizar para comparar las propiedades de diferentes estimadores para la misma cantidad. Es una forma de formalizar la idea de que un estimador debe tener ciertas cualidades intuitivamente atractivas. Estrictamente hablando, "invariante" significaría que las propias estimaciones no cambian cuando tanto las mediciones como los parámetros se transforman de manera compatible, pero el significado se ha ampliado para permitir que las estimaciones cambien de forma adecuada con tales transformaciones. [1] El término estimador equivariantese utiliza en contextos matemáticos formales que incluyen una descripción precisa de la relación de la forma en que cambia el estimador en respuesta a cambios en el conjunto de datos y la parametrización: esto corresponde al uso de " equivarianza " en matemáticas más generales.
En la inferencia estadística , hay varios enfoques de la teoría de la estimación que se pueden usar para decidir inmediatamente qué estimadores se deben usar de acuerdo con esos enfoques. Por ejemplo, las ideas de la inferencia bayesiana conducirían directamente a los estimadores bayesianos . De manera similar, la teoría de la inferencia estadística clásica a veces puede conducir a conclusiones sólidas sobre qué estimador debe usarse. Sin embargo, la utilidad de estas teorías depende de tener un modelo estadístico completamente prescrito y también puede depender de tener una función de pérdida relevante para determinar el estimador. Así, un análisis bayesianopodría llevarse a cabo, lo que llevaría a una distribución posterior de los parámetros relevantes, pero el uso de una función de utilidad o pérdida específica podría no estar claro. Las ideas de invariancia pueden aplicarse luego a la tarea de resumir la distribución posterior. En otros casos, los análisis estadísticos se llevan a cabo sin un modelo estadístico completamente definido o la teoría clásica de la inferencia estadística no se puede aplicar fácilmente porque la familia de modelos que se está considerando no se presta a tal tratamiento. Además de estos casos donde la teoría general no prescribe un estimador, el concepto de invariancia de un estimador se puede aplicar cuando se buscan estimadores de formas alternativas, ya sea en aras de la simplicidad de aplicación del estimador o para que el estimador sea robusto .
El concepto de invariancia a veces se usa solo como una forma de elegir entre estimadores, pero esto no es necesariamente definitivo. Por ejemplo, un requisito de invariancia puede ser incompatible con el requisito de que el estimador sea insesgado a la media ; por otro lado, el criterio de insesgamiento de la mediana se define en términos de la distribución muestral del estimador y, por lo tanto, es invariante bajo muchas transformaciones.
Un uso del concepto de invariancia es cuando se propone una clase o familia de estimadores y se debe seleccionar una formulación particular entre ellos. Un procedimiento es imponer propiedades de invariancia relevantes y luego encontrar la formulación dentro de esta clase que tenga las mejores propiedades, lo que lleva a lo que se llama el estimador invariante óptimo.
Hay varios tipos de transformaciones que se consideran útiles cuando se trata de estimadores invariantes. Cada uno da lugar a una clase de estimadores que son invariantes a esos tipos particulares de transformación.
La combinación de la invariancia de permutación y la invariancia de ubicación para estimar un parámetro de ubicación a partir de un conjunto de datos independiente e idénticamente distribuido utilizando un promedio ponderado implica que los pesos deben ser idénticos y sumar uno. Por supuesto, pueden ser preferibles estimadores que no sean un promedio ponderado.