Evolución de una red aleatoria
La evolución de una red aleatoria es un proceso dinámico, que generalmente conduce a la aparición de un componente gigante acompañado de consecuencias sorprendentes en la topología de la red. Para cuantificar este proceso, es necesario inspeccionar cómo varía el tamaño del clúster conectado más grande dentro de la red con el grado promedio . [1] Las redes cambian su topología a medida que evolucionan, pasando por transiciones de fase. Las transiciones de fase se conocen generalmente por la física, donde ocurren cuando la materia cambia de estado de acuerdo con su nivel de energía térmica, o cuando surgen propiedades ferromagnéticas en algunos materiales a medida que se enfrían. Tales transiciones de fase tienen lugar en la materia porque es una red de partículas y, como tal, las reglas de la transición de fase de la red se aplican directamente a ella. Las transiciones de fase en las redes ocurren cuando se agregan enlaces a una red, lo que significa que al tener N nodos, en cada incremento de tiempo, se coloca un enlace entre un par de ellos elegido al azar. La transformación de un conjunto de nodos desconectados a una red completamente conectada se denomina evolución de una red.
Si comenzamos con una red que tiene N nodos totalmente desconectados (el número de enlaces es cero) y comenzamos a agregar enlaces entre pares de nodos seleccionados al azar, comienza la evolución de la red. Durante algún tiempo solo crearemos pares de nodos. Después de un tiempo, algunos de estos pares se conectarán formando pequeños árboles. A medida que continuamos agregando más enlaces a la red, llega un punto en el que un componente gigante emerge en la red cuando algunos de estos árboles aislados se conectan entre sí. A esto se le llama el punto crítico. En nuestro ejemplo natural, este punto corresponde a temperaturas en las que los materiales cambian de estado. Al agregar más nodos al sistema, el componente gigante se vuelve aún más grande, a medida que más y más nodos obtienen un enlace a otro nodo que ya es parte del componente gigante.El otro momento especial en esta transición es cuando la red se conecta por completo, es decir, cuando todos los nodos pertenecen al único componente gigante, que es efectivamente la red misma en ese punto.[1]
En el modelo de Erdős-Rényi , [2] [3] el grado promedio de un gráfico con n vértices y N aristas viene dado por . La condición para la aparición de un componente gigante es:
.
