En el análisis complejo , el teorema de Fatou , que lleva el nombre de Pierre Fatou , es un enunciado sobre las funciones holomórficas en el disco unitario y su extensión puntual hasta el límite del disco.
Motivación y enunciado del teorema
Si tenemos una función holomorfa definido en el disco de la unidad abierta , es razonable preguntarse bajo qué condiciones podemos extender esta función al límite del disco unitario. Para hacer esto, podemos ver cómo se ve la función en cada círculo dentro del disco centrado en 0, cada uno con un radio. Esto define una nueva función:
dónde
es el círculo unitario. Entonces se esperaría que los valores de la extensión de en el círculo debería ser el límite de estas funciones, por lo que la cuestión se reduce a determinar cuándo converge, y en qué sentido, como y qué tan bien definido está este límite. En particular, si elnormas de estos se portan bien, tenemos una respuesta:
- Teorema. Dejar ser una función holomórfica tal que
- dónde se definen como arriba. Luego converge a alguna función puntual en casi todas partes y en norma. Es decir,
Ahora, observe que este límite puntual es un límite radial. Es decir, el límite que se toma es a lo largo de una línea recta desde el centro del disco hasta el límite del círculo, y por lo tanto, la declaración anterior dice que
La pregunta natural es, con esta función de frontera definida, ¿convergeremos puntualmente a esta función tomando un límite de alguna otra manera? Es decir, supongamos que en lugar de seguir una línea recta hasta el límite, seguimos una curva arbitraria convergiendo en algún punto en el límite. Voluntad converger a ? (Tenga en cuenta que el teorema anterior es solo el caso especial de). Resulta que la curvadebe ser no tangencial , lo que significa que la curva no se acerca a su objetivo en el límite de una manera que la haga tangente al límite del círculo. En otras palabras, el rango dedebe estar contenido en una cuña que emana del punto límite. Resumimos de la siguiente manera:
Definición. Dejar ser un camino continuo tal que . Definir
Es decir, es la cuña dentro del disco con ángulo cuyo eje pasa entre y cero. Nosotros decimos esoconverge no tangencialmente a, o que es un límite no tangencial , si existe tal que está contenido en y .
- Teorema de Fatou. Dejar Entonces para casi todos
- para cada límite no tangencial convergiendo a dónde se define como arriba.
Discusión
- La demostración utiliza la simetría del núcleo de Poisson usando la función máxima de Hardy-Littlewood para el círculo.
- El teorema análogo se define con frecuencia para el espacio de Hardy sobre el semiplano superior y se demuestra de la misma manera.
Ver también
Referencias
- John B. Garnett, Funciones analíticas limitadas , (2006) Springer-Verlag, Nueva York
- Walter Rudin. Análisis real y complejo (1987), 3ª Ed., McGraw Hill, Nueva York.
- Elias Stein , Integrales singulares y propiedades de diferenciación de funciones (1970), Princeton University Press, Princeton.