En teoría de juegos , el juego ficticio es una regla de aprendizaje introducida por primera vez por George W. Brown . En él, cada jugador supone que los oponentes están jugando estrategias estacionarias (posiblemente mixtas). En cada ronda, cada jugador responde mejor a la frecuencia empírica de juego de su oponente. Por supuesto, este método es adecuado si el oponente realmente usa una estrategia estacionaria, mientras que es defectuoso si la estrategia del oponente no es estacionaria. La estrategia del oponente puede estar condicionada, por ejemplo, a la última jugada del jugador ficticio.
Historia
Brown introdujo por primera vez el juego ficticio como una explicación del juego de equilibrio de Nash . Se imaginó que un jugador "simularía" el juego en su mente y actualizaría su juego futuro basado en esta simulación; de ahí el nombre de obra ficticia . En términos de uso actual, el nombre es un poco inapropiado, ya que cada jugada del juego ocurre realmente. La obra no es exactamente ficticia.
Propiedades de convergencia
En el juego ficticio, los equilibrios estrictos de Nash son estados absorbentes . Es decir, si en cualquier período de tiempo todos los jugadores juegan un equilibrio de Nash, lo harán en todas las rondas posteriores. (Fudenberg y Levine 1998, Proposición 2.1) Además, si el juego ficticio converge a cualquier distribución, esas probabilidades corresponden a un equilibrio de Nash del juego subyacente. (Proposición 2.2)
A | B | C | |
---|---|---|---|
a | 0, 0 | 2, 1 | 1, 2 |
B | 1, 2 | 0, 0 | 2, 1 |
C | 2, 1 | 1, 2 | 0, 0 |
Por tanto, la pregunta interesante es, ¿en qué circunstancias converge el juego ficticio? El proceso convergerá para un juego de 2 personas si:
- Ambos jugadores tienen solo un número finito de estrategias y el juego es de suma cero (Robinson 1951)
- El juego se puede resolver mediante la eliminación repetida de estrategias estrictamente dominadas (Nachbar 1990)
- El juego es un juego potencial (Monderer y Shapley 1996-a, 1996-b)
- El juego tiene beneficios genéricos y es 2 × N (Berger 2005)
Sin embargo, el juego ficticio no siempre converge. Shapley (1964) demostró que en el juego que se muestra aquí (una versión de suma distinta de cero de Piedra, papel, tijeras ), si los jugadores comienzan eligiendo (a, B) , el juego tendrá un ciclo indefinido.
Terminología
Berger (2007) afirma que "lo que los teóricos de los juegos modernos describen como 'juego ficticio' no es el proceso de aprendizaje que George W. Brown definió en su artículo de 1951": la "versión original de Brown difiere en un sutil detalle ..." en que El uso implica que los jugadores actualicen sus creencias simultáneamente , mientras que Brown describió a los jugadores actualizándose alternativamente . Berger luego usa la forma original de Brown para presentar una prueba simple e intuitiva de convergencia en el caso de juegos de potencial ordinal no degenerados de dos jugadores .
Al término "ficticio" se le había dado anteriormente otro significado en la teoría de juegos. Von Neumann y Morgenstern [1944] definieron un "jugador ficticio" como un jugador con una sola estrategia, agregada a un juego de n jugadores para convertirlo en un juego de suma cero de ( n + 1) jugadores.
Referencias
- Berger, U. (2005) "Juego ficticio en juegos 2xN", Journal of Economic Theory 120, 139-154.
- Berger, U. (2007) " La obra ficticia original de Brown ", Journal of Economic Theory 135: 572–578
- Brown, GW (1951) "Soluciones iterativas de juegos por juego ficticio" en Análisis de actividad de producción y asignación , TC Koopmans (Ed.), Nueva York: Wiley.
- Fudenberg, D. y DK Levine (1998) La teoría del aprendizaje en los juegos Cambridge: MIT Press.
- Monderer, D. y Shapley, LS (1996-a) " Potential Games ", Games and Economic Behavior 14, 124-143.
- Monderer, D. y Shapley, LS (1996-b) " Propiedad de juego ficticia para juegos con intereses idénticos ", Journal of Economic Theory 68, 258-265.
- Nachbar, J. (1990) " Dinámica de selección evolutiva en juegos: propiedades de convergencia y límite ", International Journal of Game Theory 19, 59-89.
- von Neumann y Morgenstern (1944), Teoría de los juegos y comportamiento económico , Princeton y Woodstock: Princeton University Press.
- Robinson, J. (1951) " Un método iterativo de resolver un juego ", Annals of Mathematics 54, 296-301.
- Shapley L. (1964) " Algunos temas en juegos de dos personas " Avances en la teoría de juegos M. Dresher, LS Shapley y AW Tucker (Eds.), Princeton: Princeton University Press.