Identidad de Fierz

Reescribe los bilineales del producto de 2 espinores como una combinación lineal de productos de los bilineales de los espinores.

En física teórica , una identidad de Fierz es una identidad que permite reescribir bilineales del producto de dos espinores como una combinación lineal de productos de los bilineales de los espinores individuales. Lleva el nombre del físico suizo Markus Fierz . Las identidades de Fierz también se denominan a veces identidades de Fierz-Pauli-Kofink , ya que Pauli y Kofink describieron un mecanismo general para producir tales identidades.

Hay una versión de las identidades de Fierz para los espinores de Dirac y hay otra versión para los espinores de Weyl . Y existen versiones para otras dimensiones además de las dimensiones 3 + 1. Los bilineales de espino en dimensiones arbitrarias son elementos de un álgebra de Clifford ; las identidades de Fierz se pueden obtener expresando el álgebra de Clifford como un cociente del álgebra exterior ^{[ se necesita más explicación ]} .

Cuando se trabaja en 4 dimensiones de espacio-tiempo, el bivector puede descomponerse en términos de las matrices de Dirac que abarcan el espacio:${\displaystyle \psi {\bar {\chi }}}$

${\displaystyle \psi {\bar {\chi }}={\frac {1}{4}}(c_{S}\mathbb {1} +c_{V}^{\mu }\gamma _{\mu }+c_{T}^{\mu \nu }T_{\mu \nu }+c_{A}^{\mu }\gamma _{\mu }\gamma _{5}+c_{P}\gamma _{5})}$.

Los coeficientes son

${\displaystyle c_{S}=({\bar {\chi }}\psi ),\quad c_{V}^{\mu }=({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi ),\quad c_{T}^{\mu \nu }=-({\bar {\chi }}T^{\mu \nu }\psi ),\quad c_{A}^{\mu }=-({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\psi ),\quad c_{P}=({\bar {\chi }}\gamma _{5}\psi )}$

y generalmente se determinan utilizando la ortogonalidad de la base en la operación de rastreo . Al intercalar la descomposición anterior entre las estructuras gamma deseadas, las identidades para la contracción de dos bilineales de Dirac del mismo tipo se pueden escribir con coeficientes de acuerdo con la siguiente tabla.

Producto	S	V	T	A	PAG
S × S =	1/4	1/4	−1/4	−1/4	1/4
V × V =	1	−1/2	0	−1/2	−1
T × T =	−3/2	0	−1/2	0	−3/2
A × A =	−1	−1/2	0	−1/2	1
P × P =	1/4	−1/4	−1/4	1/4	1/4

donde

${\displaystyle S={\bar {\chi }}\psi ,\quad V={\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi ,\quad T={\bar {\chi }}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]\psi /2{\sqrt {2}},\quad A={\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\psi ,\quad P={\bar {\chi }}\gamma _{5}\psi .}$

La mesa es simétrica con respecto a la reflexión a través del elemento central. Los signos de la tabla corresponden al caso de los espinores conmutados , de lo contrario, como es el caso de los fermiones en física, todos los coeficientes cambian de signo .

Por ejemplo, bajo el supuesto de conmutar espinores, el producto V × V se puede expandir como,

${\displaystyle \left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\chi \right)=\left({\bar {\chi }}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\psi \right)-{\frac {1}{2}}\left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi \right)-{\frac {1}{2}}\left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\gamma _{5}\psi \right)-\left({\bar {\chi }}\gamma _{5}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{5}\psi \right)~.}$

Las combinaciones de bilineales correspondientes a los autovectores de la matriz de transposición se transforman en las mismas combinaciones con autovalores ± 1. Por ejemplo, nuevamente para conmutar espinores, V × V + A × A ,

${\displaystyle ({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi )({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\chi )+({\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\psi )({\bar {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu }\chi )=-(~({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\chi )({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi )+({\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\chi )({\bar {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu }\psi )~)~.}$

Las simplificaciones surgen cuando los espinores considerados son espinores de Majorana , o fermiones quirales, ya que entonces algunos términos en la expansión pueden desaparecer por razones de simetría. Por ejemplo, para anticonmutar espinores esta vez, se deduce fácilmente de lo anterior que

${\displaystyle {\bar {\chi }}_{1}\gamma ^{\mu }(1+\gamma _{5})\psi _{2}{\bar {\psi }}_{3}\gamma _{\mu }(1-\gamma _{5})\chi _{4}=-2{\bar {\chi }}_{1}(1-\gamma _{5})\chi _{4}{\bar {\psi }}_{3}(1+\gamma _{5})\psi _{2}.}$

Referencias

• En 29.3.4 de LB Okun (1980) se puede encontrar una derivación de identidades para reescribir cualquier contracción escalar de los bilineales de Dirac . Leptones y quarks . Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-86924-1.
• Véase también el apéndice B.1.2 en T. Ortin (2004). Gravedad y cuerdas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-82475-0.
• Kennedy, AD (1981). "Álgebras de Clifford en 2ω dimensiones". Revista de Física Matemática . 22 (7): 1330–7. doi : 10.1063 / 1.525069 .
• Pal, Palash B. (2007). "Manipulaciones independientes de la representación con espinores de Dirac". arXiv : física / 0703214 .