Dinámica de archivos

Movimiento de muchas partículas en un canal estrecho.

El término dinámica de archivo es el movimiento de muchas partículas en un canal estrecho.

En ciencia: en química , física , matemáticas y campos relacionados, la dinámica de archivo (a veces llamada dinámica de archivo único ) es la difusión de N ( N → ∞) esferas duras brownianas idénticas en un canal cuasi unidimensional de longitud L ( L → ∞), de modo que las esferas no saltan una encima de la otra, y la densidad media de las partículas es aproximadamente fija. Las propiedades estadísticas más famosas de este proceso es que sigue el desplazamiento cuadrático medio (MSD) de una partícula en el archivo , y su función de densidad de probabilidad${\displaystyle \mathrm {MSD} \approx t^{\frac {1}{2}}}$( PDF ) es gaussiano en posición con una variación de MSD. ^{[1] [2] [3]}

Los resultados en archivos que generalizan el archivo básico incluyen:

• En archivos con una ley de densidad que no es fija, pero decae como una ley de potencia con un exponente a con la distancia desde el origen, la partícula en el origen tiene un MSD que escala como,, con un PDF gaussiano . ^[4]${\displaystyle MSD\approx t^{\frac {1+a}{2}}}$
• Cuando, además, los coeficientes de difusión de las partículas se distribuyen como una ley de potencia con exponente γ (alrededor del origen), sigue el MSD,, con una PDF gaussiana . ^[5]${\displaystyle MSD\approx t^{\frac {1-\gamma }{2/(1+a)-\gamma }}}$
• En archivos anómalos que se renuevan, es decir, cuando todas las partículas intentan un salto juntas, sin embargo, con tiempos de salto tomados de una distribución que decae como una ley de potencia con un exponente, −1 -  α , el MSD escala como el MSD del correspondiente archivo normal, en el poder de α. ^[6]
• En los archivos anómalos de partículas independientes, el MSD es muy lento y escamas como, . Aún más emocionante, las partículas forman grupos en tales archivos, definiendo una transición de fase dinámica. Esto depende de la anomalía α potencia: el porcentaje de partículas en racimos ξ siguen, . ^[7]${\displaystyle MSD\approx log^{2}(t)}$${\displaystyle \xi \approx {\sqrt {1-\alpha ^{3}}}}$
• Otras generalizaciones incluyen: cuando las partículas pueden evitarse entre sí con una probabilidad constante al encontrarse, se observa una difusión mejorada. ^[8] Cuando las partículas interactúan con el canal, se observa una difusión más lenta. ^{[9] Los} archivos incrustados en dos dimensiones muestran características similares a los archivos en una dimensión. ^[7]

Las generalizaciones del archivo básico son importantes ya que estos modelos representan la realidad con mucha más precisión que el archivo básico. De hecho, la dinámica de archivo se utiliza para modelar numerosos procesos microscópicos: ^{[10] [11] [12] [13] [14] [15] [16]} la difusión dentro de los poros biológicos y sintéticos y el material poroso, la difusión a lo largo de objetos 1D, como en las carreteras biológicas, la dinámica de un monómero en un polímero, etc.

Formulación matemática

Archivos simples

En archivos brownianos simples , la función de densidad de probabilidad conjunta (PDF) para todas las partículas en el archivo, obedece a una ecuación de difusión normal:${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )}$

${\displaystyle \partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=D\Sigma _{j=-M}^{M}\partial _{x_{j}}^{2}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ).}$

( 1 )

En , es el conjunto de las posiciones de las partículas en el tiempo y es el conjunto de las posiciones iniciales de las partículas en el tiempo inicial (establecido en cero). La ecuación (1) se resuelve con las condiciones de contorno adecuadas, que reflejan la naturaleza de esfera dura del archivo:${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )}$${\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{-M},x_{-M+1},\ldots ,x_{M}\}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle {\big (}D\partial _{x_{j}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j}=x_{j+1}}={\big (}D\partial _{x_{j+1}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j+1}=x_{j}};\qquad j=-M,\ldots ,M-1,}$

( 2 )

y con la condición inicial adecuada:

${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\rightarrow \infty \mid x_{0})=\Pi _{j=-M}^{M}\delta (x_{j}-x_{0,j}).}$

( 3 )

En un archivo simple, la densidad inicial es fija, es decir , donde es un parámetro que representa una longitud microscópica. Las coordenadas PDFs' deben obedecer la orden: .${\displaystyle x_{0,j}=j\Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle x_{-M}\leq x_{-M+1}\leq \cdots \leq x_{M}}$

Archivos heterogéneos

En tales archivos, sigue la ecuación de movimiento,

${\displaystyle \partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=\Sigma _{j=-M}^{M}D_{j}\partial _{x_{j}}^{2}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ).}$

( 4 )

con las condiciones de contorno:

${\displaystyle {\big (}D_{j}\partial _{x_{j}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j}=x_{j+1}}={\big (}D_{j+1}\partial _{x_{j+1}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j+1}=x_{j}};\qquad j=-M,\ldots ,M-1,}$

( 5 )

y con la condición inicial, Eq. ( 3 ), donde las posiciones iniciales de las partículas obedecen:

${\displaystyle x0,j=sign(j)\Delta \mid j\mid ^{1/(1-a)};\qquad 0\leq {\mathit {a}}\leq 1.}$

( 6 )

Los coeficientes de difusión del archivo se toman independientemente del PDF,

${\displaystyle W(D)={\frac {1-\gamma }{\Lambda }}(D/\Lambda )^{-\gamma },\qquad 0\leq \gamma \leq 1,}$

( 7 )

donde Λ tiene un valor finito que representa el coeficiente de difusión más rápido del archivo.

Renovación, archivos anómalos, heterogéneos

En archivos de renovación anómala, se toma un período aleatorio independientemente de una función de densidad de probabilidad de tiempo de espera (WT-PDF; consulte Proceso de Markov de tiempo continuo para obtener más información) de la forma:, donde k es un parámetro. Luego, todas las partículas en el archivo permanecen quietas durante este período aleatorio, donde luego, todas las partículas intentan saltar de acuerdo con las reglas del archivo. Este procedimiento se repite una y otra vez. La ecuación de movimiento para el PDF de las partículas en un archivo de renovación anómala se obtiene al convolucionar la ecuación de movimiento para un archivo browniano con un kernel :${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)\sim k(kt)^{-1-\alpha },0<\alpha \leq 1}$${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$

${\displaystyle \partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=\Sigma _{j=-M}^{M}D_{j}\partial _{x_{j}}^{2}\int _{0}^{t}k_{\alpha }(t-u)P(\mathbf {x} ,u\mid \mathbf {x_{0}} )\,du.}$

( 8 )

En este caso, el núcleo y el WT-PDF están relacionados en el espacio de Laplace, . (La transformada de Laplace de una función dice, ). Las condiciones de contorno reflectantes acompañaron a la ec. ( 8 ) se obtienen al convolucionar las condiciones de contorno de un archivo browniano con el kernel , donde aquí y en un archivo browniano las condiciones iniciales son idénticas.${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$${\displaystyle {\bar {k}}_{\alpha }(s)={\frac {s{\bar {\psi }}_{\alpha }(s)}{1-{\bar {\psi }}_{\alpha }(s)}}}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle {\bar {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$

Archivos anómalos con partículas independientes

Cuando a cada partícula en el archivo anómalo se le asigna su propio formulario de tiempo de salto ( es el mismo para todas las partículas), el archivo anómalo no es un archivo de renovación. El ciclo dinámico básico en un archivo de este tipo consta de los siguientes pasos: una partícula con el tiempo de salto más rápido en el archivo, digamos, para la partícula i , intenta un salto. Luego, se ajustan los tiempos de espera para todas las demás partículas: restamos de cada una de ellas. Finalmente, se dibuja un nuevo tiempo de espera para la partícula i${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$. La diferencia más crucial entre los archivos anómalos de renovación y los archivos anómalos que no son de renovación es que cuando cada partícula tiene su propio reloj, las partículas están de hecho conectadas también en el dominio del tiempo, y el resultado es una mayor lentitud en el sistema (demostrado en el texto principal). La ecuación de movimiento para el PDF en archivos anómalos de partículas independientes dice:

${\displaystyle \partial _{t_{i}}P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} \mid \mathbf {x_{0}} )=D_{i}\partial _{x_{i}}^{2}\int _{0}^{t_{i}}k_{\alpha }(t_{i}-u_{i})P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} ^{'(i)},u_{i}\mid \mathbf {x_{0}} )\,du_{i};\qquad -M\leq i\leq M.}$

( 9 )

Tenga en cuenta que el argumento de tiempo en el PDF es un vector de tiempos:, y . Sumando todas las coordenadas y realizando la integración en el orden de tiempos más rápidos primero (el orden se determina al azar a partir de una distribución uniforme en el espacio de configuraciones) da la ecuación completa de movimiento en archivos anómalos de partículas independientes (promediando la ecuación sobre todos Por lo tanto, se requieren configuraciones adicionales). De hecho, incluso la ecuación. ( 9 ) es muy complicado y promediar complica aún más las cosas.${\displaystyle P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} \mid \mathbf {x_{0}} )}$${\displaystyle \mathbf {t} =\{t_{i}\}_{i=-M}^{M}}$${\displaystyle \mathbf {t} ^{'(i)}=\{t_{c}\}_{c=-M,c\neq i}^{M}}$

Análisis matemático

Archivos simples

La solución de las Ecs. ( 1 ) - ( 2 ) es un conjunto completo de permutaciones de todas las coordenadas iniciales que aparecen en los gaussianos, ^[4]

${\displaystyle P(\mathbf {x} ,\mid \mathbf {x_{0}} )={\frac {1}{c_{N}}}\Sigma _{\{p\}}e^{-1/4Dt\Sigma _{j=-M}^{M}(x_{j}-x_{0,j}(p))^{2}}.}$

( 10 )

Aquí, el índice incluye todas las permutaciones de las coordenadas iniciales y contiene permutaciones. De la ecuación. ( 10 ), se calcula el PDF de una partícula etiquetada en el archivo, ^[4]${\displaystyle p}$${\displaystyle N!}$${\displaystyle P(r,t\mid r_{0})}$

${\displaystyle P(r,t\mid r_{0})\sim {\frac {1}{c_{N}}}e^{-R_{d}^{2}/{\sqrt {2\tau }}},}$

( 11 )

En Eq. ( 11 ), , ( es decir la condición inicial de la partícula tagged), y . El MSD para la partícula etiquetada se obtiene directamente de la Ec. ( 11 ):${\displaystyle R_{d}=r_{d}\Delta }$${\displaystyle r_{d}=r-r_{0}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle \tau =\Delta ^{-2}Dt}$

${\displaystyle \langle R_{d}^{2}\rangle \sim {\sqrt {\tau }}.}$

( 12 )

Archivos heterogéneos

La solución de las Ecs. ( 4 ) - ( 7 ) se aproxima con la expresión, ^[5]

${\displaystyle P(x,t\mid x_{0})\approx {\frac {1}{c_{N}}}\Sigma _{\{p\}}e^{-\Sigma _{j=-M}^{M}(x_{j}-x_{0,j}(p))^{2}/4tD_{j}}.}$

( 13 )

A partir de la ecuación. ( 13 ), sigue el PDF de la partícula etiquetada en el archivo heterogéneo, ^[5]

${\displaystyle P(r,t\mid r_{0})\sim {\frac {1}{c_{N}}}e^{-R_{d}^{2}/4\tau \tau ^{(1-a))/(2-\gamma (1+a))}};\qquad \tau =\Delta ^{-2}\Lambda t.}$

( 14 )

El MSD de una partícula etiquetada en un archivo heterogéneo se toma de la Ec. ( 14 ):

${\displaystyle \langle R_{d}^{2}\rangle =2\tau ^{(1-\gamma )/(2c-\gamma )},\qquad c=1/((1+a)).}$

( 15 )

Renovación de archivos heterogéneos anómalos

Los resultados de los archivos anómalos de renovación se derivan simplemente de los resultados de los archivos brownianos. En primer lugar, el PDF en Eq. ( 8 ) está escrito en términos del PDF que resuelve la ecuación no complicada, es decir, la ecuación del archivo browniano; esta relación se hace en el espacio de Laplace:

${\displaystyle {\bar {P}}(x,s\mid x_{0})={\frac {1}{{\bar {k}}_{\alpha }(s)}}{\bar {P}}_{\text{nrml}}(x,s/{\bar {k}}_{\alpha }(s)\mid x_{0}).}$

( 16 )

(El subíndice nrml significa dinámica normal). De la ecuación. ( 16 ), es sencillo relacionar el MSD de archivos heterogéneos brownianos y archivos heterogéneos anómalos de renovación, ^[6]

${\displaystyle \langle {\bar {r}}^{2}(s)\rangle ={\frac {1}{{\bar {k}}_{\alpha }(s)}}\langle {\bar {r}}^{2}(s/{\bar {k}}_{\alpha }(s))\rangle _{\text{nrml}}.}$

( 17 )

De la ecuación. ( 18 ), se encuentra que el MSD de un archivo con dinámica normal en el poder de es el MSD del correspondiente archivo anómalo de renovación, ^[6]${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \langle r^{2}(t)\rangle \sim \langle r^{2}(t)\rangle _{\text{nrml}}^{\alpha }.}$

( 19 )

Archivos anómalos con partículas independientes

La ecuación de movimiento para archivos anómalos con partículas independientes, ( 9 ), es muy complicada. Las soluciones para dichos archivos se obtienen al derivar leyes de escala y con simulaciones numéricas.

Leyes de escala para archivos anómalos de partículas independientes

En primer lugar, escribimos la ley de escala para el desplazamiento absoluto medio ( MAD ) en un archivo de renovación con densidad constante: ^{[4] [5] [7]}

${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle \sim \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}/n.}$

( 20 )

Aquí, es el número de partículas en la longitud cubierta , y es el MAD de una partícula anómala libre, . En Eq. ( 20 ), ingresa a los cálculos ya que todas las partículas dentro de la distancia de la etiquetada deben moverse en la misma dirección para que la partícula etiquetada alcance una distancia de su posición inicial. Basado en la ecuación. ( 20 ), escribimos una ley de escala generalizada para archivos anómalos de partículas independientes:${\displaystyle n}$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}}$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}\sim t^{\alpha /2})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$

${\displaystyle \langle |r|\rangle \sim {\frac {\langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}}{n}}f(n);\qquad 0<f(n)<1.}$

( 21 )

El primer término en el lado derecho de la Ec. ( 21 ) aparece también en expedientes de renovación; sin embargo, el término f (n) es único. f (n) es la probabilidad que explica el hecho de que para mover n partículas independientes anómalas en la misma dirección, cuando estas partículas realmente intentan saltar en la misma dirección (expresada con el término, ( ), las partículas en la periferia deben moverse primero para que las partículas en el medio del archivo tengan espacio libre para moverse, lo que exige tiempos de salto más rápidos para las de la periferia. Aparece f (n) ya que no hay una escala de tiempo típica para un salto en archivos anómalos, y el Las partículas son independientes, por lo que una partícula en particular puede permanecer quieta durante mucho tiempo, lo que limita sustancialmente las opciones de progreso de las partículas a su alrededor durante este tiempo.${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}/n)}$${\displaystyle 0<f(n)<1}$, donde f ( n ) = 1 para archivos de renovación ya que las partículas saltan juntas, pero también en archivos de partículas independientes con , ya que en dichos archivos hay una escala de tiempo típica para un salto, considerado el tiempo para un salto sincronizado. Calculamos f (n) a partir del número de configuraciones en las que el orden de los tiempos de salto de las partículas permite el movimiento; es decir, un orden donde las partículas más rápidas siempre se ubican hacia la periferia. Para n partículas, hay n! diferentes configuraciones, donde una configuración es la óptima; entonces ,. Sin embargo, aunque no es óptima, la propagación también es posible en muchas otras configuraciones; cuando m es el número de partículas que se mueven, entonces,${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle (1/n!)\leq f(n)}$

${\displaystyle f(n)\sim {\dbinom {n}{m}}(n-m)!1/n!,}$

( 22 )

donde cuenta el número de configuraciones en las que esas m partículas alrededor de la etiquetada tienen el orden de salto óptimo. Ahora, incluso cuando m ~ n / 2 ,. Usando en Eq. ( 21 ), ( un número pequeño mayor que 1), vemos,${\displaystyle {\dbinom {n}{m}}(n-m)!}$${\displaystyle f(n)\sim e^{-n/2}}$${\displaystyle f(n)\sim e^{-n/n_{0}}}$${\displaystyle n_{0}}$

${\displaystyle \mathrm {MSD} \sim \left({\frac {\alpha }{n_{0}}}\right)^{2}\ln ^{2}(t).}$

( 23 )

(En la ecuación ( 23 ) usamos ,.) La ecuación ( 23 ) muestra que, asintóticamente, las partículas son extremadamente lentas en archivos anómalos de partículas independientes.${\displaystyle MSD\sim \mid MAD\mid ^{2}}$

Estudios numéricos de archivos anómalos de partículas independientes

Figura 1 Trayectorias de simulaciones de 501 partículas anómalas, independientes, con (recomendado: abrir el archivo en una nueva ventana)${\displaystyle \alpha =0.9,0.1}$

Con estudios numéricos, uno ve que archivos anómalos de partículas independientes forman grupos. Este fenómeno define una transición de fase dinámica. En estado estacionario, el porcentaje de partículas en racimo , sigue,${\displaystyle \xi (\alpha )}$

${\displaystyle \xi (\alpha )\approx {\sqrt {1-\alpha ^{3}}}}$

( 24 )

En la Figura 1 mostramos las trayectorias de 9 partículas en un archivo de 501 partículas. (Se recomienda abrir el archivo en una nueva ventana). Los paneles superiores muestran trayectorias para y los paneles inferiores muestran trayectorias para . Para cada valor de mostrado son trayectorias en las primeras etapas de las simulaciones (izquierda) y en todas las etapas de la simulación (derecha). Los paneles exhiben el fenómeno de la agrupación, donde las trayectorias se atraen entre sí y luego se mueven prácticamente juntas.${\displaystyle \alpha =0.9}$${\displaystyle \alpha =0.1}$${\displaystyle \alpha }$

Ver también

• movimiento browniano
• Dinámica de Langevin
• Sistemas dinámicos

Referencias

1. Harris TE (1965) "Difusión con 'Colisiones' entre partículas", Journal of Applied Probability , 2 (2), 323-338 JSTOR  3212197
2. Jepsen, DW (1965). "Dinámica de un sistema simple de muchos cuerpos de varillas duras". Revista de Física Matemática . Publicación AIP. 6 (3): 405–413. doi : 10.1063 / 1.1704288 . ISSN  0022-2488 .
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4. Flomenbom, O .; Taloni, A. (2008). "En procesos de un solo archivo y menos densos". EPL (Cartas Europhysics) . Publicación de IOP. 83 (2): 20004. arXiv : 0802.1516 . doi : 10.1209 / 0295-5075 / 83/20004 . ISSN 0295-5075 . S2CID 118506867 .  
5. Flomenbom, Ophir (21 de septiembre de 2010). "Dinámica de esferas duras heterogéneas en un archivo". Revisión E física . 82 (3): 31126. arXiv : 1002.1450 . doi : 10.1103 / physreve.82.031126 . ISSN 1539-3755 . PMID 21230044 . S2CID 17103579 .   
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