En matemáticas aplicadas , el nombre método de conjunto de puntos finitos es un enfoque general para la solución numérica de problemas en mecánica continua , como la simulación de flujos de fluidos . En este enfoque (a menudo abreviado como FPM ), el medio está representado por un conjunto finito de puntos, cada uno dotado de las propiedades locales relevantes del medio, como densidad , velocidad , presión y temperatura . [1]
Los puntos de muestreo pueden moverse con el medio, como en el enfoque lagrangiano de la dinámica de fluidos, o pueden estar fijos en el espacio mientras el medio fluye a través de ellos, como en el enfoque euleriano . También se puede utilizar un enfoque mixto Lagrangiano-Euleriano. El enfoque lagrangiano también se conoce (especialmente en el campo de los gráficos por computadora ) como método de partículas .
Los métodos de conjuntos de puntos finitos son métodos sin malla y, por lo tanto, se adaptan fácilmente a dominios con geometrías complejas y/o que evolucionan en el tiempo y límites de fase en movimiento (como un líquido que salpica en un recipiente o el soplado de una botella de vidrio ) sin la complejidad del software que ser requerido para manejar esas características con estructuras de datos topológicos . Pueden ser útiles en problemas no lineales que involucran fluidos viscosos , transferencia de calor y masa , deformaciones elásticas o plásticas lineales y no lineales , etc.
En las implementaciones más simples, el conjunto de puntos finitos se almacena como una lista no estructurada de puntos en el medio. En el enfoque lagrangiano, los puntos se mueven con el medio y se pueden agregar o eliminar puntos para mantener una densidad de muestreo prescrita. La densidad de puntos suele estar prescrita por una longitud de suavizado definida localmente. En el enfoque euleriano, los puntos están fijos en el espacio, pero se pueden agregar nuevos puntos donde sea necesario aumentar la precisión. Entonces, en ambos enfoques, los vecinos más cercanos de un punto no son fijos y se determinan nuevamente en cada paso de tiempo.
Este método tiene varias ventajas sobre las técnicas basadas en cuadrículas; por ejemplo, puede manejar dominios fluidos, que cambian naturalmente, mientras que las técnicas basadas en cuadrículas requieren un esfuerzo computacional adicional. Los puntos finitos tienen que cubrir completamente todo el dominio del flujo, es decir, la nube de puntos tiene que cumplir ciertos criterios de calidad (no se permite que los puntos finitos formen "agujeros", lo que significa que los puntos finitos tienen que encontrar vecinos suficientemente numerosos; además, los puntos finitos no son permitido agruparse, etc.).
La nube de puntos finitos es una base geométrica que permite una formulación numérica que convierte a FPM en una idea general de diferencias finitas aplicada a la mecánica de medios continuos. Eso significa especialmente que, si el punto se reduce a una cuadrícula regular de puntos cúbicos, entonces FPM se reduciría a un método clásico de diferencias finitas. La idea de diferencias finitas generales también significa que FPM no se basa en una formulación débil como el enfoque de Galerkin. Más bien, FPM es una formulación fuerte que modela ecuaciones diferenciales por aproximación directa de los operadores diferenciales que ocurren. El método utilizado es una idea de mínimos cuadrados móviles que se desarrolló especialmente para FPM.