desigualdad de Fischer

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En matemáticas , la desigualdad de Fischer da un límite superior para el determinante de una matriz semidefinida positiva cuyas entradas son números complejos en términos de los determinantes de sus bloques diagonales principales. Supongamos que A , C son respectivamente matrices complejas semidefinidas positivas p × p , q × q y B es una matriz compleja p × q . Dejar

Si M es definido positivo, la igualdad se logra en la desigualdad de Fischer si y solo si todas las entradas de B son 0. Inductivamente, se puede concluir que una desigualdad similar se cumple para una descomposición en bloques de M con múltiples bloques diagonales principales. Considerando bloques de 1×1, un corolario es la desigualdad de Hadamard . Por otro lado, la desigualdad de Fischer también puede probarse usando la desigualdad de Hadamard, véase la demostración del Teorema 7.8.5 en el Análisis matricial de Horn y Johnson.

Suponga que A y C son definidas positivas. Tenemos y somos positivos-definidos. Dejar ${\ estilo de visualización A^{-1}}$${\ estilo de visualización C^{-1}}$

Aplicando la desigualdad AM-GM a los valores propios de , vemos${\displaystyle D^{-{\frac {1}{2}}}MD^{-{\frac {1}{2}}}}$

Para , como y son definidas positivas, tenemos ${\ estilo de visualización \ varepsilon > 0}$${\displaystyle A+\varepsilon I_{p}}$${\displaystyle C+\varepsilon I_{q}}$

Tomando el límite como prueba la desigualdad. De la desigualdad observamos que si M es invertible, tanto A como C son invertibles y obtenemos la condición de igualdad deseada.${\ estilo de visualización \ varepsilon \ flecha derecha 0}$

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