En matemáticas , la desigualdad de Hadamard (también conocida como teorema de los determinantes de Hadamard [1] ) es un resultado publicado por primera vez por Jacques Hadamard en 1893. [2] Es un límite en el determinante de una matriz cuyas entradas son números complejos en términos de la longitudes de sus vectores columna. En términos geométricos, cuando se restringe a números reales, limita el volumen en el espacio euclidiano de n dimensiones marcadas por n vectores v i para 1 ≤ i ≤ nen términos de las longitudes de estos vectores || v i ||.
Si los n vectores son distintos de cero, la igualdad en la desigualdad de Hadamard se logra si y solo si los vectores son ortogonales .
Un corolario es que si las entradas de una matriz de n por n N están limitadas por B , entonces | N ij | ≤ B para todo i y j , entonces
En combinatoria , las matrices N para las que se cumple la igualdad, es decir, aquellas con columnas ortogonales, se denominan matrices de Hadamard .
Una matriz P positiva-semidefinida se puede escribir como N * N , donde N * denota la transpuesta conjugada de N (ver la descomposición de Cholesky ). Entonces
Entonces, el determinante de una matriz definida positiva es menor o igual que el producto de sus entradas diagonales. A veces, esto también se conoce como desigualdad de Hadamard. [2] [5]