La desigualdad de Fisher es una condición necesaria para la existencia de un diseño de bloques incompletos equilibrado , es decir, un sistema de subconjuntos que satisfacen ciertas condiciones prescritas en matemática combinatoria . Esbozado por Ronald Fisher , un genetista y estadístico de poblaciones , que se preocupaba por el diseño de experimentos , como el estudio de las diferencias entre varias variedades diferentes de plantas, en cada una de las diferentes condiciones de crecimiento, llamadas bloques .
Dejar:
- v será el número de variedades de plantas;
- b sea el número de bloques.
Para ser un diseño de bloque incompleto equilibrado se requiere que:
- k hay diferentes variedades en cada bloque, 1 ≤ k < v ; ninguna variedad aparece dos veces en un bloque;
- dos variedades cualesquiera ocurren juntas en bloques exactamente λ ;
- cada variedad ocurre exactamente en r bloques.
La desigualdad de Fisher establece simplemente que
- b ≥ v .
Prueba
Sea la matriz de incidencia M una matriz v × b definida de modo que M i, j sea 1 si el elemento i está en el bloque j y 0 en caso contrario. Entonces B = MM T es una matriz v × v tal que B i, i = r y B i, j = λ para i ≠ j . Dado que r ≠ λ , det ( B ) ≠ 0 , entonces rango ( B ) = v ; por otro lado, rango ( B ) ≤ rango ( M ) ≤ b , entonces v ≤ b .
Generalización
La desigualdad de Fisher es válida para clases de diseños más generales. Un diseño equilibrado por pares (o PBD) es un conjunto X junto con una familia de subconjuntos no vacíos de X (que no necesitan tener el mismo tamaño y pueden contener repeticiones) de modo que cada par de elementos distintos de X está contenido exactamente en λ (un entero positivo) subconjuntos. Se permite que el conjunto X sea uno de los subconjuntos, y si todos los subconjuntos son copias de X , el PBD se denomina "trivial". El tamaño de X es v y el número de subconjuntos de la familia (contados con multiplicidad) es b .
Teorema: Para cualquier PBD no trivial, v ≤ b . [1]
Este resultado también generaliza el teorema de Erdős-De Bruijn :
Para un PBD con λ = 1 sin bloques de tamaño 1 o v , v ≤ b , con igualdad si y solo si el PBD es un plano proyectivo o un lápiz cercano (lo que significa que exactamente n - 1 de los puntos son colineales ). [2]
En otra dirección, Ray-Chaudhuri y Wilson demostraron en 1975 que en un diseño de 2 s - ( v , k , λ) , el número de bloques es al menos. [3]
Notas
- ↑ Stinson 2003 , pág.193
- ↑ Stinson 2003 , pág.183
- ^ Ray-Chaudhuri, Dijen K .; Wilson, Richard M. (1975), "Sobre diseños en t" , Osaka Journal of Mathematics , 12 : 737–744, MR 0592624 , Zbl 0342.05018
Referencias
- RC Bose , "Una nota sobre la desigualdad de Fisher para diseños de bloques incompletos equilibrados", Annals of Mathematical Statistics , 1949, páginas 619–620.
- RA Fisher, "Un examen de las diferentes soluciones posibles de un problema en bloques incompletos", Annals of Eugenics , volumen 10, 1940, páginas 52-75.
- Stinson, Douglas R. (2003), Diseños combinatorios: Construcciones y análisis , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-95487-2
- Calle, Anne Penfold ; Calle, Deborah J. (1987). Combinatoria de Diseño Experimental . Oxford UP [Clarendon]. ISBN 0-19-853256-3.