Número de Genocchi

En matemáticas , los números Genocchi G _n , nombrados en honor a Angelo Genocchi , son una secuencia de números enteros que satisfacen la relación

${\displaystyle {\frac {2t}{e^{t}+1}}=\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}}$

Los primeros números de Genocchi son 1, −1, 0, 1, 0, −3, 0, 17 (secuencia A036968 en la OEIS ), ver OEIS :  A001469 .

Propiedades

• La definición de la función generadora de los números de Genocchi implica que son números racionales . De hecho, G _{2n + 1}  = 0 para n  ≥ 1 y (−1) ⁿ G _2n es un número entero positivo impar .
• Los números de Genocchi G _n están relacionados con los números de Bernoulli B _n por la fórmula

${\displaystyle G_{n}=2\,(1-2^{n})\,B_{n}.}$

Hay dos casos para .${\displaystyle G_{n}}$

1.     de OEIS :  A027641 / OEIS :  A027642${\displaystyle B_{1}=-1/2}$

${\displaystyle G_{n_{1}}}$= 1, -1, 0, 1, 0, -3 = OEIS :  A036968 , ver OEIS :  A224783

2.     de OEIS :  A164555 / OEIS :  A027642${\displaystyle B_{1}=1/2}$

${\displaystyle G_{n_{2}}}$= -1, -1, 0, 1, 0, -3 = OEIS :  A226158 (n + 1) . Función que genera: .${\displaystyle {\frac {-2}{1+e^{-t}}}}$

OEIS :  A226158 es una autosecuencia (una secuencia cuya transformada binomial inversa es la secuencia con signo) del primer tipo (su diagonal principal es 0's = OEIS :  A000004 ). Una autosecuencia del segundo tipo tiene su diagonal principal igual a la primera diagonal superior multiplicada por 2. Ejemplo: OEIS :  A164555 / OEIS :  A027642 .

- OEIS :  A226158 está incluido en la familia:

...	...	1	1/2	0	-1/4	0	1/2	0	-17/8	0	31/2
...	0	1	1	0	-1	0	3	0	-17	0	155
0	0	2	3	0	-5	0	21	0	-153	0	1705

Las filas son respectivamente OEIS :  A198631 (n) / OEIS :  A006519 (n + 1), - OEIS :  A226158 y OEIS :  A243868 .

Una fila es 0 seguida de n (positivo) multiplicado por la fila anterior. Las secuencias son alternativamente del segundo y del primer tipo.

• Se ha demostrado que −3 y 17 son los únicos números primos de Genocchi.

Interpretaciones combinatorias

La función generadora exponencial para los números pares de Genocchi con signo (−1) ⁿ G _2n es

${\displaystyle t\tan \left({\frac {t}{2}}\right)=\sum _{n\geq 1}(-1)^{n}G_{2n}{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}}$

Enumeran los siguientes objetos:

• Permutaciones en S _{2 n −1} con descensos después de los números pares y ascensos después de los impares.
• Permutaciones π en S _{2 n −2} con 1 ≤  π (2 i −1) ≤ 2 n −2 i y 2 n −2 i  ≤  π (2 i ) ≤ 2 n −2.
• Pares ( a ₁ ,…, a _{n -1} ) y ( b ₁ ,…, b _{n -1} ) tales que a _i y b _i están entre 1 e i y cada k entre 1 y n -1 ocurre al menos una vez entre las a _i y b _i .
• Reverse permutaciones alternas un ₁  <  un ₂  >  un ₃  <  un ₄  > ...> un _{2 n -1} de [2 n -1] cuya tabla de inversión sólo tiene incluso entradas.

Ver también

• Número de Euler

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Número de Genocchi" . MathWorld .
• Richard P. Stanley (1999). Combinatoria enumerativa , volumen 2 , ejercicio 5.8. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-56069-1 
• Gérard Viennot, Interprétations combinatoires des nombres d'Euler et de Genocchi , Seminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volumen 11 (1981-1982)
• Serkan Araci, Mehmet Acikgoz, Erdoğan Şen, Algunas nuevas identidades de los números y polinomios de Genocchi