Progresión geométrica

En matemáticas , una progresión geométrica , también conocida como secuencia geométrica , es una secuencia de números distintos de cero donde cada término después del primero se encuentra multiplicando el anterior por un número fijo distinto de cero llamado razón común . Por ejemplo, la sucesión 2, 6, 18, 54,... es una progresión geométrica con razón común 3. De manera similar, 10, 5, 2,5, 1,25,... es una progresión geométrica con razón común 1/2.

Ejemplos de una secuencia geométrica son las potencias r ^k de un número fijo distinto de cero r , como 2 ^k y 3 ^k . La forma general de una sucesión geométrica es

La distinción entre una progresión y una serie es que una progresión es una secuencia, mientras que una serie es una suma.

Generalmente, para verificar si una secuencia dada es geométrica, uno simplemente verifica si las entradas sucesivas en la secuencia tienen todas la misma proporción.

La razón común de una secuencia geométrica puede ser negativa, lo que da como resultado una secuencia alterna, con números que alternan entre positivos y negativos. Por ejemplo

El comportamiento de una sucesión geométrica depende del valor de la razón común.
Si la razón común es:

Diagrama que ilustra tres secuencias geométricas básicas del patrón 1( r ^{n −1} ) hasta 6 iteraciones de profundidad. El primer bloque es un bloque unitario y la línea discontinua representa la suma infinita de la secuencia, un número al que siempre se aproximará pero nunca tocará: 2, 3/2 y 4/3 respectivamente.

	2	+	10	+	50	+	250			=	312
− (			10	+	50	+	250	+	1250	=	5 × 312)
	2							−	1250	=	(1 - 5) × 312

Cálculo de la suma 2 + 10 + 50 + 250. La secuencia se multiplica término por término por 5 y luego se resta de la secuencia original. Quedan dos términos: el primer término, a , y el término uno después del último, ^o arm . El resultado deseado, 312, se obtiene restando estos dos términos y dividiendo entre 1 − 5.

Animación que muestra la convergencia de sumas parciales de progresión geométrica (línea roja) a su suma (línea azul) para .${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}}$${\displaystyle {1 \sobre 1-q}}$${\ estilo de visualización | q | <1}$

Diagrama que muestra la serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge en 2.