Condiciones de Wolfe

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En el problema de minimización sin restricciones , las condiciones de Wolfe son un conjunto de desigualdades para realizar búsquedas de líneas inexactas , especialmente en métodos cuasi-Newton , publicados por primera vez por Philip Wolfe en 1969. ^{[1] [2]}

para algunos suaves . Cada paso a menudo implica resolver aproximadamente el subproblema.${\ Displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$

donde es la mejor estimación actual, es una dirección de búsqueda y es la longitud del paso.${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {k} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$

Las búsquedas de líneas inexactas proporcionan una forma eficiente de calcular una longitud de paso aceptable que reduce la función objetivo "suficientemente", en lugar de minimizar la función objetivo exactamente. Un algoritmo de búsqueda de línea puede utilizar las condiciones de Wolfe como requisito para cualquier adivinación , antes de encontrar una nueva dirección de búsqueda .${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {k}}$

Se dice que la longitud de un paso satisface las condiciones de Wolfe , restringidas a la dirección , si se cumplen las dos siguientes desigualdades:${\ Displaystyle \ alpha _ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {k}}$

con . (Al examinar la condición (ii), recuerde que para asegurar que es una dirección de descenso, tenemos , como en el caso del descenso de gradiente , donde , o Newton-Raphson , donde con definida positiva).${\ Displaystyle 0 <c_ {1} <c_ {2} <1}$${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {k} ^ {\ mathrm {T}} \ nabla f (\ mathbf {x} _ {k}) <0}$${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {k} = - \ nabla f (\ mathbf {x} _ {k})}$${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {k} = - \ mathbf {H} ^ {- 1} \ nabla f (\ mathbf {x} _ {k})}$${\ Displaystyle \ mathbf {H}}$

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