Coeficientes de Gregory G n , también conocidos como números logarítmicos recíprocos , números de Bernoulli del segundo tipo o números de Cauchy del primer tipo , [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8 ] [9] [10] [11] [12] [13] son los números racionales que ocurren en la expansión de la serie de Maclaurin del logaritmo recíproco
Los coeficientes de Gregory se alternan G n = (−1) n −1 | G n | y decreciente en valor absoluto. Estos números llevan el nombre de James Gregory, quien los introdujo en 1670 en el contexto de integración numérica. Posteriormente fueron redescubiertos por muchos matemáticos y suelen aparecer en obras de autores modernos, que no siempre los reconocen. [1] [5] [14] [15] [16] [17]
Valores numéricos
norte | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | ... | Secuencias OEIS |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
G n | +1/2 | - 1/12 | + 1/24 | - 19/720 | + 3/160 | - 863/60480 | + 275/24192 | - 33953/3628800 | + 8183/1036800 | - 3250433/479001600 | + 4671/788480 | ... | OEIS : A002206 (numeradores), |
Computación y representaciones
La forma más sencilla de calcular los coeficientes de Gregory es utilizar la fórmula de recurrencia
con G 1 = 1/2. [14] [18] Los coeficientes de Gregory también pueden calcularse explícitamente mediante el siguiente diferencial
la integral
Fórmula integral de Schröder [19] [20]
o la fórmula de suma finita
donde s ( n , ℓ ) son los números de Stirling con signo del primer tipo .
Límites y comportamiento asintótico
Los coeficientes de Gregory satisfacen los límites
a cargo de Johan Steffensen . [15] Estos límites fueron posteriormente mejorados por varios autores. Los límites más conocidos para ellos los dio Blagouchine. [17] En particular,
Asintóticamente, en un índice grande n , estos números se comportan como [2] [17] [19]
Una descripción más exacta de G n en general n puede encontrarse en obras de Van Veen, [18] Davis, [3] Coffey, [21] Nemes [6] y Blagouchine. [17]
Serie con coeficientes de Gregory
Las series que involucran coeficientes de Gregory a menudo se pueden calcular en forma cerrada. Las series básicas con estos números incluyen
donde γ = 0.5772156649 ... es la constante de Euler . Estos resultados son muy antiguos y su historia se remonta a las obras de Gregorio Fontana y Lorenzo Mascheroni . [17] [22] Varios autores calcularon series más complicadas con los coeficientes de Gregory. Kowalenko, [8] Alabdulmohsin [10] [11] y algunos otros autores calcularon
Alabdulmohsin [10] [11] también da estas identidades
Candelperger, Coppo [23] [24] y Young [7] demostraron que
donde H n son los números armónicos . Blagouchine [17] [25] [26] [27] proporciona las siguientes identidades
donde li ( z ) es el logaritmo integral yes el coeficiente binomial . También se sabe que la función zeta , la función gamma , las funciones poligamma , las constantes de Stieltjes y muchas otras funciones y constantes especiales pueden expresarse en términos de series infinitas que contienen estos números. [1] [17] [18] [28] [29]
Generalizaciones
Son posibles varias generalizaciones para los coeficientes de Gregory. Muchos de ellos pueden obtenerse modificando la ecuación generadora principal. Por ejemplo, Van Veen [18] considere
y por lo tanto
Posteriormente, Kowalenko [9] y Rubinstein propusieron generalizaciones equivalentes . [30] De manera similar, los coeficientes de Gregory están relacionados con los números de Bernoulli generalizados
ver, [18] [28] para que
Jordan [1] [16] [31] define polinomios ψ n ( s ) tales que
y llamarlos polinomios de Bernoulli del segundo tipo . De lo anterior, queda claro que G n = ψ n (0) . Carlitz [16] generalizó los polinomios de Jordan ψ n ( s ) mediante la introducción de polinomios β
and therefore
Blagouchine[17][32] introduced numbers Gn(k) such that
obtained their generating function and studied their asymptotics at large n. Clearly, Gn = Gn(1). These numbers are strictly alternating Gn(k) = (-1)n-1|Gn(k)| and involved in various expansions for the zeta-functions, Euler's constant and polygamma functions. A different generalization of the same kind was also proposed by Komatsu[31]
so that Gn = cn(1)/n! Numbers cn(k) are called by the author poly-Cauchy numbers.[31] Coffey[21] defines polynomials
and therefore |Gn| = Pn+1(1).
Ver también
- Stirling polynomials
- Bernoulli polynomials of the second kind
Referencias
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