En matemáticas , la derivada de Grünwald-Letnikov es una extensión básica de la derivada en el cálculo fraccional que permite tomar la derivada un número no entero de veces. Fue introducido por Anton Karl Grünwald (1838–1920) de Praga , en 1867, y por Aleksey Vasilievich Letnikov (1837–1888) en Moscú en 1868.
La formula
porque la derivada se puede aplicar de forma recursiva para obtener derivadas de orden superior. Por ejemplo, la derivada de segundo orden sería:
Suponiendo que las h convergen sincrónicamente, esto se simplifica a:
que puede justificarse rigurosamente por el teorema del valor medio . En general, tenemos (ver coeficiente binomial ):
Eliminando la restricción de que n sea un entero positivo, es razonable definir:
Esto define el derivado de Grünwald-Letnikov.
Para simplificar la notación, establecemos:
Entonces, el derivado de Grünwald-Letnikov puede escribirse sucintamente como:
Una definición alternativa
En la sección anterior, se derivó la ecuación de primeros principios generales para derivadas de orden entero. Se puede demostrar que la ecuación también se puede escribir como
o eliminando la restricción de que n debe ser un número entero positivo:
Esta ecuación se denomina derivada inversa de Grünwald-Letnikov. Si se realiza la sustitución h → - h , la ecuación resultante se denomina derivada directa de Grünwald-Letnikov: [1]