Gunnar nació en la ciudad de Seltjarnarnes cerca de Reykjavík , hijo del actor Ævar Kvaran y bisnieto de Einar Hjörleifsson Kvaran . Comenzó a estudiar violonchelo con Einar Vigfússon a los doce años y fue a Copenhague en 1964 para estudiar con el famoso violonchelista danés-islandés Erling Blöndal Bengtsson en la Real Academia de Música de Dinamarca . Posteriormente estudió con Reine Flachot en París y Basilea .
Durante 25 años, Gunnar Kvaran enseñó en la Facultad de Música de Reykjavík , donde dirigió el departamento de instrumentos de cuerda. [1] Ahora es profesor de instrumentos de cuerda y música de cámara en el departamento de música de la Academia de las Artes de Islandia , [2] donde el Reykjavík Trio es el conjunto residente de música de cámara. [1]