En matemáticas , el lema de Hadamard , que lleva el nombre de Jacques Hadamard , es esencialmente una forma de primer orden del teorema de Taylor , en el que podemos expresar una función uniforme de valor real exactamente de una manera conveniente.
Sea f una función uniforme de valor real definida en un vecindario abierto, convexo en estrella U de un punto a en el espacio euclidiano n- dimensional. Entonces ƒ ( x ) se puede expresar, para todo x en U , en la forma:
![{\displaystyle f(x)=f(a)+\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-a_{i}\right)g_{i}(x),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde cada g i es una función suave en U , a = ( a 1 , …, a n ), yx = ( x 1 , …, x n ).
Deje x ser en U . Sea h el mapa de [0,1] a los números reales definidos por
![{\displaystyle h(t)=f(a+t(x-a)).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces desde
![{\displaystyle h'(t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\left(x_{i}-a_{i}\right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
tenemos
![{\displaystyle h(1)-h(0)=\int _{0}^{1}h'(t)\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\left(x_{i}-a_{i}\right)\,dt=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-a_{i}\right)\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\,dt.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Pero, además, h (1) - h (0) = f ( x ) - f ( a ), así que si dejamos
![{\displaystyle g_{i}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\,dt,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
hemos probado el teorema.