Nació en Farsund de Jens Christian Arentz (1763–1828) y su esposa Anne Elisabeth (1775–1851), de soltera Urbye. Más tarde se mudó a Skien y se casó el 8 de octubre de 1838 con Margrethe Cathrine Stockmann (nacida el 19 de noviembre de 1806). La pareja tuvo dos hijos. [1]
Arentz se desempeñó como alcalde de Skien de 1840 a 1842, de 1845 a 1847, de 1848 a 1850 y de 1851 a 1860. [2] Fue elegido miembro del Parlamento de Noruega en 1842, en representación del distrito electoral de Skien og Porsgrund . En 1857 fue elegido diputado, antes de ser elegido para un último mandato en 1859. [3]
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