Desigualdad FKG
En matemáticas, la desigualdad de Fortuin-Kasteleyn-Ginibre (FKG) es una desigualdad de correlación , una herramienta fundamental en mecánica estadística y combinatoria probabilística (especialmente gráficos aleatorios y el método probabilístico ), debido a Cees M. Fortuin , Pieter W. Kasteleyn y Jean Ginibre ( 1971 ). Informalmente, dice que en muchos sistemas aleatorios, los eventos crecientes están positivamente correlacionados, mientras que un evento creciente y decreciente están negativamente correlacionados. Se obtuvo estudiando el modelo de conglomerados aleatorios .
Una versión anterior, para el caso especial de variables iid , llamada desigualdad de Harris , se debe a Theodore Edward Harris ( 1960 ), ver más abajo . Una generalización de la desigualdad FKG es la desigualdad de Holley (1974) a continuación, y una generalización aún mayor es el teorema de las "cuatro funciones" de Ahlswede-Daykin (1978) . Además, tiene la misma conclusión que las desigualdades de Griffiths , pero las hipótesis son diferentes.
Sea un retículo distributivo finito y μ una función no negativa sobre él, que se supone que satisface la condición del retículo ( FKG ) (a veces una función que satisface esta condición se denomina log supermodular ), es decir,
La desigualdad FKG dice entonces que para cualesquiera dos funciones monótonamente crecientes ƒ y g on , se cumple la siguiente desigualdad de correlación positiva:
La misma desigualdad (correlación positiva) es verdadera cuando tanto ƒ como g son decrecientes. Si uno aumenta y el otro disminuye, entonces están correlacionados negativamente y la desigualdad anterior se invierte.
Declaraciones similares son válidas de manera más general, cuando no es necesariamente finito, ni siquiera contable. En ese caso, μ debe ser una medida finita y la condición de la red debe definirse mediante eventos de cilindro ; véase, por ejemplo, la Sección 2.2 de Grimmett (1999) .