Teorema de Hartogs sobre la holomorficidad separada

---

En matemáticas , el teorema de Hartogs es un resultado fundamental de Friedrich Hartogs en la teoría de varias variables complejas . En términos generales, establece que una función 'analítica por separado' es continua. Más precisamente, si es una función que es analítica en cada variable z _i , 1 ≤ i ≤ n , mientras que las demás variables se mantienen constantes, entonces F es una función continua .${\displaystyle F:{\textbf {C}}^{n}\to {\textbf {C}}}$

Un corolario es que la función F es entonces de hecho una función analítica en el sentido de n variables (es decir, que localmente tiene una expansión de Taylor ). Por lo tanto, 'analyticidad separada' y 'analyticity' son nociones coincidentes, en la teoría de varias variables complejas.

Comenzando con la hipótesis adicional de que la función es continua (o acotada), el teorema es mucho más fácil de probar y en esta forma se conoce como el lema de Osgood .

No existe un análogo de este teorema para variables reales . Si suponemos que una función es derivable (o incluso analítica ) en cada variable por separado, no es cierto que necesariamente será continua. Un contraejemplo en dos dimensiones está dado por${\displaystyle f\dos puntos {\textbf {R}}^{n}\to {\textbf {R}}}$${\ estilo de visualización f}$

Si además definimos , esta función tiene derivadas parciales bien definidas en y en el origen, pero no es continua en el origen. (De hecho, los límites a lo largo de las líneas y no son iguales, por lo que no hay forma de extender la definición de para incluir el origen y hacer que la función sea continua allí).${\ estilo de visualización f (0,0) = 0}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización y}$${\ estilo de visualización x = y}$${\ estilo de visualización x = -y}$${\ estilo de visualización f}$

Este artículo incorpora material del teorema de Hartogs sobre la analiticidad separada en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

---