En matemáticas , el teorema de Hartogs es un resultado fundamental de Friedrich Hartogs en la teoría de varias variables complejas . En términos generales, establece que una función "analítica por separado" es continua. Más precisamente, sies una función que es analítica en cada variable z i , 1 ≤ i ≤ n , mientras que las otras variables se mantienen constantes, entonces F es una función continua .
Un corolario es que la función F es entonces de hecho una función analítica en el sentido de n- variables (es decir, que localmente tiene una expansión de Taylor ). Por lo tanto, "analiticidad separada" y "analiticidad" son nociones coincidentes, en la teoría de varias variables complejas.
Comenzando con la hipótesis adicional de que la función es continua (o acotada), el teorema es mucho más fácil de demostrar y en esta forma se conoce como lema de Osgood .
No existe un análogo de este teorema para las variables reales . Si asumimos que una funciónes diferenciable (o incluso analítico ) en cada variable por separado, no es cierto queserá necesariamente continuo. Un contraejemplo en dos dimensiones viene dado por
Si además definimos , esta función tiene derivadas parciales bien definidas en y en el origen, pero no es continuo en el origen. (De hecho, los límites a lo largo de las líneas y no son iguales, por lo que no hay forma de ampliar la definición de para incluir el origen y hacer que la función sea continua allí).
Referencias
- Steven G. Krantz . Teoría de funciones de varias variables complejas , AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
enlaces externos
- "Teorema de Hartogs" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- http://planetmath.org/hartogsstheoremonseparateanalyticity
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