Conjunto de Heilbronn

---

En matemáticas, un conjunto de Heilbronn es un conjunto infinito S de números naturales para los cuales cada número real puede aproximarse arbitrariamente mediante una fracción cuyo denominador está en  S . Para cualquier número real y número natural dado , es fácil encontrar el entero más cercano a . Por ejemplo, para el número real y tenemos . Si llamamos cercanía de a la diferencia entre y , la cercanía siempre es menor que 1/2 (en nuestro ejemplo es 0.15926...). Una colección de números es un conjunto de Heilbronn si para cualquiera siempre podemos encontrar una secuencia de valores para${\ estilo de visualización \ theta}$${\ estilo de visualización h}$${\ estilo de visualización g}$${\ estilo de visualización g/h}$${\ estilo de visualización \ theta}$${\ estilo de visualización \ pi}$${\ estilo de visualización h = 100}$${\ estilo de visualización g = 314}$${\ estilo de visualización \ theta}$${\ estilo de visualización g/h}$${\ estilo de visualización h \ theta}$${\ estilo de visualización g}$${\ estilo de visualización \ theta}$${\ estilo de visualización h}$en el conjunto donde la cercanía tiende a cero.

Más matemáticamente, denote la distancia desde el entero más cercano, entonces es un conjunto de Heilbronn si y solo si para cada número real y cada allí existe tal que . ^[1]${\ estilo de visualización \|\ alfa \|}$${\ estilo de visualización \ alfa}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\ estilo de visualización \ theta}$${\ estilo de visualización \ varepsilon > 0}$${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$${\ estilo de visualización \| h \ theta \ | <\ varepsilon}$

Los números naturales son un conjunto de Heilbronn como muestra el teorema de aproximación de Dirichlet que existe con .${\displaystyle q<[1/\varepsilon]}$${\displaystyle \|q\theta \|<\varepsilon}$

Las ésimas potencias de los números enteros son un conjunto de Heilbronn. Esto se deriva de un resultado de IM Vinogradov quien demostró que para cada y existe un exponente y tal que . ^[2] En el caso, Hans Heilbronn pudo demostrar que puede tomarse arbitrariamente cerca de 1/2. ^[3] Alexandru Zaharescu ha mejorado el resultado de Heilbronn para mostrar que puede tomarse arbitrariamente cerca de 4/7. ^[4]${\ estilo de visualización k}$${\ estilo de visualización N}$${\ estilo de visualización k}$${\ estilo de visualización \ eta _ {k}> 0}$${\ estilo de visualización q<N}$${\displaystyle \|q^{k}\theta \|\ll N^{-\eta _{k}}}$${\ estilo de visualización k = 2}$ ${\ estilo de visualización \ eta _ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ eta _ {2}}$

Las potencias de 10 no son un conjunto de Heilbronn. Tomemos entonces la afirmación que para algunos es equivalente a decir que la expansión decimal de tiene un recorrido de tres ceros o tres nueves en alguna parte. Esto no es cierto para todos los números reales.${\ estilo de visualización \ varepsilon = 0,001}$${\displaystyle \|10^{k}\theta \|<\varepsilon}$${\ estilo de visualización k}$${\ estilo de visualización \ theta}$

---