Para obtener más contexto, consulte Introducción a la mecánica cuántica .
Para obtener información completa sobre el tema específico de la física cuántica, consulte Mecánica matricial .
Werner Heisenberg contribuyó a la ciencia en un momento en el que la vieja física cuántica estaba descubriendo un campo plagado de más y más obstáculos. Decidió que la física cuántica debía repensarse desde cero. Al hacerlo, eliminó varios elementos que se basaban en la física clásica y su modelado del mundo macro. Heisenberg decidió basar su mecánica cuántica "exclusivamente en relaciones entre cantidades que en principio son observables". [1] Al hacerlo, construyó una entrada a la mecánica matricial.
Observó que entonces no se podía utilizar ninguna afirmación sobre cosas como "la posición y el período de revolución del electrón". [2] Más bien, para lograr un verdadero progreso en la comprensión de la radiación del caso más simple, la radiación de átomos de hidrógeno excitados, solo se tenían mediciones de las frecuencias y las intensidades del espectro de línea brillante del hidrógeno para trabajar.
En la física clásica, la intensidad de cada frecuencia de luz producida en un sistema radiante es igual al cuadrado de la amplitud de la radiación a esa frecuencia, por lo que la atención se centró a continuación en las amplitudes. Las ecuaciones clásicas que Heisenberg esperaba usar para formar ecuaciones teóricas cuánticas producirían primero las amplitudes, y en física clásica se podrían calcular las intensidades simplemente elevando al cuadrado las amplitudes. Pero Heisenberg vio que "la suposición más simple y natural sería" [3] seguir el ejemplo proporcionado por un trabajo reciente en el cálculo de la dispersión de la luz realizado por Kramers. [4] El trabajo que había hecho ayudando a Kramers el año anterior [5] ahora le dio una pista importante sobre cómo modelar lo que sucedía con el gas hidrógeno excitado cuando irradiaba luz y lo que sucedía cuando la radiación entrante de una frecuencia excitaba átomos en un medio dispersivo y luego la energía entregada por la luz entrante se volvió a irradiar, a veces a la frecuencia original, pero a menudo a dos frecuencias más bajas, la suma de las cuales igualaba la frecuencia original. De acuerdo con su modelo, un electrón que había sido conducido a un estado de mayor energía al aceptar la energía de un fotón entrante podría regresar en un paso a su posición de equilibrio, re-irradiando un fotón de la misma frecuencia, o podría regresar en más de un paso, irradiando un fotón por cada paso en su regreso a su estado de equilibrio. Debido a la forma en que los factores se anulan al derivar la nueva ecuación basada en estas consideraciones, el resultado resulta ser relativamente simple.
Desarrollo de la teoría mecánica cuántica completa
Werner Heisenberg utilizó la idea de que, dado que la física clásica es correcta cuando se aplica a fenómenos en el mundo de las cosas más grandes que los átomos y las moléculas, debe ser un caso especial de un modelo teórico cuántico más inclusivo. Así que esperaba poder modificar la física cuántica de tal manera que cuando los parámetros estuvieran en la escala de los objetos cotidianos se verían como la física clásica, pero cuando los parámetros se redujeron a la escala atómica, las discontinuidades que se ven en cosas como la Las frecuencias ampliamente espaciadas del espectro visible de líneas brillantes de hidrógeno volverían a aparecer.
Lo único que la gente en ese momento más quería entender sobre la radiación de hidrógeno era cómo predecir o explicar las intensidades de las líneas en su espectro. Aunque Heisenberg no lo sabía en ese momento, el formato general que elaboró para expresar su nueva forma de trabajar con cálculos teóricos cuánticos puede servir como receta para dos matrices y cómo multiplicarlas. [6]
El innovador artículo de Heisenberg de 1925 no usa ni siquiera menciona matrices. El gran avance de Heisenberg fue el "esquema que fue capaz en principio de determinar de manera única las cualidades físicas relevantes (frecuencias de transición y amplitudes)" [7] de la radiación de hidrógeno.
Después de que Heisenberg escribió su documento innovador, se lo entregó a uno de sus colegas superiores para que hiciera las correcciones necesarias y se fue de unas merecidas vacaciones. Max Born estaba desconcertado por las ecuaciones y las ecuaciones sin desplazamiento que Heisenberg había encontrado problemáticas e inquietantes. Después de varios días se dio cuenta de que estas ecuaciones equivalían a instrucciones para escribir matrices. Las matrices estaban un poco fuera de lo común, incluso para los matemáticos de esa época, pero cómo hacer matemáticas con ellas ya estaba claramente establecido. Él y algunos colegas asumieron la tarea de resolver todo en forma de matriz antes de que Heisenberg regresara de su tiempo libre, y en unos pocos meses la nueva mecánica cuántica en forma de matriz formó la base para otro artículo.
Cuando se mencionan cantidades como la posición y el momento en el contexto de la mecánica matricial de Heisenberg, es esencial tener en cuenta que un enunciado como pq ≠ qp no se refiere a un valor único de py un valor único q, sino a una matriz (cuadrícula de valores dispuestos de manera definida) de valores de posición y una matriz de valores de momento. Así multiplicando p veces q o q tiempos p que realmente está hablando de la multiplicación de la matriz de las dos matrices. Cuando se multiplican dos matrices, la respuesta es una tercera matriz.
Max Born vio que cuando se calcularan las matrices que representan pq y qp no serían iguales. Heisenberg ya había visto lo mismo en términos de su forma original de formular las cosas, y Heisenberg pudo haber adivinado lo que era casi inmediatamente obvio para Born: que la diferencia entre las matrices de respuesta para pq y para qp siempre involucraría dos factores que salieron a la luz. de matemáticas originales de Heisenberg: la constante de Planck h y i , que es la raíz cuadrada de la negativa. De modo que la idea misma de lo que Heisenberg prefirió llamar el "principio de indeterminación" (generalmente conocido como el principio de incertidumbre) estaba al acecho en las ecuaciones originales de Heisenberg.
Paul Dirac decidió que la esencia del trabajo de Heisenberg residía en la misma característica que Heisenberg había encontrado originalmente problemática: el hecho de la no conmutatividad, como la que existe entre la multiplicación de una matriz de momento por una matriz de desplazamiento y la multiplicación de una matriz de desplazamiento por una matriz de momento. . Esa idea llevó a Dirac en direcciones nuevas y productivas. [8]
Principio de incertidumbre
Uno de los mayores de Heisenberg, Max Born, explicó cómo tomó su extraña "receta" dada anteriormente y descubrió algo innovador: [9]
Al considerar ... ejemplos ... [Heisenberg] encontró esta regla ... Esto fue en el verano de 1925. Heisenberg ... se despidió ... y me entregó su artículo para su publicación ... ..
La regla de multiplicación de Heisenberg no me dejó en paz, y después de una semana de intensos pensamientos y pruebas, de repente recordé una teoría algebraica ... Tales matrices cuadráticas son bastante familiares para los matemáticos y se llaman matrices, en asociación con una regla definida de multiplicación. . Apliqué esta regla a la condición cuántica de Heisenberg y descubrí que estaba de acuerdo con los elementos diagonales. Fue fácil adivinar cuáles debían ser los elementos restantes, a saber, nulos; e inmediatamente se paró ante mí la extraña fórmula
[El símbolo Q es la matriz del desplazamiento, P es la matriz del momento, i representa la raíz cuadrada del uno negativo y h es la constante de Planck. [10] ]
Esta fórmula es el núcleo del principio de incertidumbre de Heisenberg, derivado de las matemáticas. La mecánica cuántica limita en gran medida la precisión con la que se pueden medir las propiedades de las partículas subatómicas en movimiento. Un observador puede medir con precisión la posición (desplazamiento) o el momento, pero no ambos. En el límite, medir cualquiera de las variables con total precisión implicaría una ausencia total de precisión en la medición de la otra.
La ecuación revolucionaria
Por medio de una intensa serie de analogías matemáticas que algunos físicos han denominado "mágicas", Werner Heisenberg escribió una ecuación que es el análogo de la mecánica cuántica para el cálculo clásico de intensidades. La siguiente ecuación aparece en su artículo de 1925. [11] [12] Su forma general es la siguiente:
Este formato general indica que algún término C se va a calcular mediante la suma de todos los productos de algunos de los términos grupo A por algún grupo relacionado de términos B . Potencialmente habrá una serie infinita de términos A y sus términos B coincidentes . Cada una de estas multiplicaciones tiene como factores dos medidas que pertenecen a transiciones secuenciales descendentes entre estados de energía de un electrón. Este tipo de regla diferencia la mecánica matricial del tipo de física familiar en la vida cotidiana porque los valores importantes son dónde (en qué estado de energía u "orbital") comienza el electrón y en qué estado de energía termina, no qué hace el electrón mientras en uno u otro estado.
La fórmula parece bastante intimidante, pero si A y B se refieren a listas de frecuencias, por ejemplo, todo lo que dice es realizar las siguientes multiplicaciones y luego resumirlas:
Multiplique la frecuencia para un cambio de energía del estado n al estado na por la frecuencia para un cambio de energía del estado na al estado nb. ya eso sume el producto encontrado multiplicando la frecuencia para un cambio de energía del estado na al estado nb por la frecuencia para un cambio de energía del estado nb al estado nc, y así sucesivamente. Simbólicamente, es decir:
- f (n, na) * f (na, nb)) +
- f (na, nb) * f (nb, nc) +
etc. (De acuerdo con la convención utilizada, na representa un estado de energía más alto que n , por lo que una transición de n a na indicaría que un electrón ha aceptado energía de un fotón entrante y se ha elevado a un orbital superior, mientras que una transición de na a n representaría un electrón de caer a un orbital más bajo y emitiendo un fotón.)
Sería fácil realizar cada paso individual de este proceso para alguna cantidad medida. Por ejemplo, la fórmula encuadrada al principio de este artículo proporciona cada longitud de onda necesaria en secuencia. Los valores calculados se podrían rellenar fácilmente en una cuadrícula como se describe a continuación. Sin embargo, dado que la serie es infinita, nadie podría hacer todo el conjunto de cálculos.
Heisenberg diseñó originalmente esta ecuación para poder multiplicar dos medidas del mismo tipo (amplitudes), por lo que no importaba en qué orden se multiplicaron. Sin embargo, Heisenberg notó que si intentaba usar el mismo esquema para multiplicar dos variables, como el momento, p , y el desplazamiento, q , entonces "surge una dificultad significativa". [13] Resulta que multiplicar una matriz de p por una matriz de q da un resultado diferente al multiplicar una matriz de q por una matriz de p . Solo hizo una pequeña diferencia, pero esa diferencia nunca podría reducirse por debajo de cierto límite, y ese límite involucró la constante de Planck, h . Más sobre eso más tarde. A continuación se muestra una muestra muy breve de lo que serían los cálculos, colocados en cuadrículas que se llaman matrices. El maestro de Heisenberg vio casi de inmediato que su trabajo debería expresarse en un formato matricial porque los matemáticos ya estaban familiarizados con cómo hacer cálculos con matrices de manera eficiente. (Dado que Heisenberg estaba interesado en la radiación de fotones, las ilustraciones se darán en términos de electrones que van de un nivel de energía más alto a un nivel más bajo, por ejemplo, n ← n-1, en lugar de ir de un nivel más bajo a un nivel más alto, por ejemplo. , n → n-1)
- (ecuación para las variables conjugadas momento y posición)
Matriz de p
Estados electrónicos | n / A | nótese bien | Carolina del Norte | .... |
---|---|---|---|---|
norte | p (n︎ ← na) | p (n︎ ← nb) | p (n︎ ← nc) | ..... |
n / A | p (n-a︎ ← na) | p (n-a︎ ← nb) | p (n-a︎ ← nc) | ..... |
nótese bien | p (n-b︎ ← na) | p (n-b︎ ← nb) | p (n-b︎ ← nc) | ..... |
transición.... | ..... | ..... | ..... | ..... |
Matriz de q
Estados electrónicos | nótese bien | Carolina del Norte | Dakota del Norte | .... |
---|---|---|---|---|
n / A | q (n-a︎ ← nb) | q (n-a︎ ← nc) | q (n-a︎ ← nd) | ..... |
nótese bien | q (n-b︎ ← nb) | q (n-b︎ ← nc) | q (n-b︎ ← nd) | ..... |
Carolina del Norte | q (n-c︎ ← nb) | q (n-c︎ ← nc) | q (n-c︎ ← nd) | ..... |
transición.... | ..... | ..... | ..... | ..... |
La matriz para el producto de las dos matrices anteriores como se especifica en la ecuación relevante en el artículo de 1925 de Heisenberg es
Estados electrónicos | nótese bien | Carolina del Norte | Dakota del Norte | ..... |
---|---|---|---|---|
norte | A | ..... | ..... | ..... |
n / A | ..... | B | ..... | ..... |
nótese bien | ..... | ..... | C | ..... |
Dónde
- A = p (n︎ ← na) * q (n-a︎ ← nb) + p (n︎ ← nb) * q (n-b︎ ← nb) + p (n︎ ← nc) * q (n-c︎ ← nb) + .....
- B = p (n-a︎ ← na) * q (n-a︎ ← nc) + p (n-a︎ ← nb) * q (n-b︎ ← nc) + p (n-a︎ ← nc) * q (n -c︎ ← nc) + .....
- C = p (n-segundo︎ ← nd) * q (n-a︎ ← nd) + p (n-b︎ ← nb) * q (n-b︎ ← nd) + p (n-b︎ ← nc) * q (n -d︎ ← nd) + .....
Etcétera.
Si las matrices se invirtieran, los siguientes valores resultarían
- A = q (n︎ ← na) * p (n-a︎ ← nb) + q (n︎ ← nb) * p (n-b︎ ← nb) + q (n︎ ← nc) * p (n-c︎ ← nb) + .....
- B = q (norte-a︎ ← na) * p (norte-a︎ ← nc) + q (norte-a︎ ← nb) * p (norte-segundo︎ ← nc) + q (norte-a︎ ← nc) * p (n -c︎ ← nc) + .....
- C = q (n-b︎ ← nd) * p (n-a︎ ← nd) + q (n-b︎ ← nb) * p (n-b︎ ← nd) + q (n-b︎ ← nc) * p (n -d︎ ← nd) + ...
Etcétera.
Observe cómo cambiar el orden de multiplicación cambia los números, paso a paso, que en realidad se multiplican.
Referencias
- Aitchison, Ian JR; MacManus, David A .; Snyder, Thomas M. (2004). "Entender el artículo" mágico "de Heisenberg de julio de 1925: una nueva mirada a los detalles del cálculo". Revista estadounidense de física . 72 (11): 1370-1379. arXiv : quant-ph / 0404009 . Código Bibliográfico : 2004AmJPh..72.1370A . doi : 10.1119 / 1.1775243 . S2CID 53118117 .Descarga directa para Aitchison et al. en esta asignatura.
- PAM Dirac (1925), "Las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica. Actas de la Royal Society of London. Serie A, Conteniendo artículos de carácter matemático y físico", 109 (752), 642–653 en línea . La síntesis de reinterpretación crucial del artículo de Heisenberg, que introduce el lenguaje contemporáneo empleado ahora.
- BLVan der Waerden, Fuentes de mecánica cuántica , Publicaciones de Dover (2007), ISBN 978-0486458922
- ^ BLVan der Waerden, Fuentes de mecánica cuántica , p. 261
- ^ BLVan der Waerden, Fuentes de mecánica cuántica , p. 261
- ^ BLVan der Waerden, Fuentes de mecánica cuántica , p. 275f
- ↑ HA Kramers, Nature 113 (1924) 673.
- ^ Véase el documento 3 en BLVan der Waerden, Fuentes de mecánica cuántica '.
- ↑ El artículo de Heisenberg de 1925 se traduce en Sources of Quantum Mechanics de BL Van der Waerden , donde aparece como capítulo 12.
- ^ Aitchison, et al., "Comprensión del artículo 'mágico' de Heisenberg de julio de 1925: una nueva mirada a los detalles del cálculo", p. 2
- ^ Thomas F. Jordan, Mecánica cuántica en forma de matriz simple , p. 149
- ^ Conferencia Nobel de Born citada en Mecánica cuántica en forma de matriz simple de Thomas F. Jordan , p. 6
- ^ Ver Introducción a la mecánica cuántica . por Henrik Smith, pág. 58 para una introducción legible. Véase Ian JR Aitchison, et al., "Comprensión del artículo 'mágico' de Heisenberg de julio de 1925", Apéndice A, para obtener una derivación matemática de esta relación.
- ^ BLVan der Waerden, Fuentes de mecánica cuántica, p. 266
- ^ En el artículo de Aitchison, et al., Es la ecuación (10) de la página 5.
- ^ BLVan der Waerden, Fuentes de mecánica cuántica, p. 266 et passim