El principio de reciprocidad de Helmholtz describe cómo un rayo de luz y su rayo inverso se encuentran con aventuras ópticas, como reflejos, refracciones y absorciones en un medio pasivo o en una interfaz. No se aplica a medios móviles, no lineales o magnéticos.
Por ejemplo, la luz entrante y saliente se pueden considerar como inversiones entre sí, [1] sin afectar el resultado de la función de distribución de reflectancia bidireccional (BRDF) [2] . Si la luz se midiera con un sensor y esa luz se reflejara en un material con un BRDF que obedeciera al principio de reciprocidad de Helmholtz, se podría intercambiar el sensor y la fuente de luz y la medición del flujo permanecería igual.
En el esquema de gráficos por computadora de la iluminación global , el principio de reciprocidad de Helmholtz es importante si el algoritmo de iluminación global invierte las trayectorias de la luz (por ejemplo, el trazado de rayos frente al trazado clásico de la trayectoria de la luz).
Física
El principio de reciprocidad de reversión de Stokes-Helmholtz [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [1] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] se ha señalado en parte por Stokes (1849) [3] y con referencia a la polarización en la página 169 [4] de Helmholtz 's Handbuch der physologischen Optik de 1856 citado por Kirchhoff [8] y por Planck . [13]
Como lo citó Kirchhoff en 1860, el principio se traduce de la siguiente manera:
Un rayo de luz procedente del punto 1 llega al punto 2 después de sufrir cualquier número de refracciones, reflejos, etc. En el punto 1 , tomen dos planos perpendiculares cualesquiera a 1 , b 1 en la dirección del rayo; y que las vibraciones del rayo se dividan en dos partes, una en cada uno de estos planos. Tome planos similares a 2 , b 2 en el rayo en el punto 2; entonces se puede demostrar la siguiente proposición. Si cuando la cantidad de luz i polarizada en el plano a 1 procede de 1 en la dirección del rayo dado, esa parte k de la luz polarizada en a 2 llega a 2, entonces, a la inversa, si la cantidad de luz i polarizada en a 2 procede de 2, la misma cantidad de luz k polarizada en un 1 [el texto publicado por Kirchhoff aquí corregido por el editor de Wikipedia para coincidir con el texto de Helmholtz de 1867] llegará a 1. [8]
En pocas palabras, el principio establece que la fuente y el punto de observación pueden cambiarse sin cambiar el valor de la función de onda observada. En otras palabras, el principio prueba matemáticamente la afirmación: "Si puedo verte, tú puedes verme". Al igual que los principios de la termodinámica, este principio es lo suficientemente fiable como para comprobar el correcto funcionamiento de los experimentos, en contraste con la situación habitual en la que los experimentos son pruebas de una ley propuesta. [1] [12]
En su prueba magistral [23] de la validez de la ley de Kirchhoff de igualdad de emisividad radiativa y absortividad , [24] Planck hace un uso repetido y esencial del principio de reciprocidad de Stokes-Helmholtz. Rayleigh planteó la idea básica de reciprocidad como consecuencia de la linealidad de propagación de pequeñas vibraciones, luz que consiste en vibraciones sinusoidales en un medio lineal. [9] [10] [11] [12]
Cuando hay campos magnéticos en el camino del rayo, el principio no se aplica. [4] La desviación del medio óptico de la linealidad también provoca la desviación de la reciprocidad de Helmholtz, así como la presencia de objetos en movimiento en la trayectoria del rayo.
La reciprocidad de Helmholtz se refería originalmente a la luz. Ésta es una forma particular de electromagnetismo que puede denominarse radiación de campo lejano. Para ello, los campos eléctricos y magnéticos no necesitan descripciones distintas, porque se propagan alimentándose entre sí de manera uniforme. Por tanto, el principio de Helmholtz es un caso especial descrito de forma más sencilla de reciprocidad electromagnética en general , que se describe mediante distintas descripciones de los campos eléctricos y magnéticos que interactúan. El principio de Helmholtz se basa principalmente en la linealidad y superposición del campo de luz, y tiene análogos cercanos en los campos de propagación lineal no electromagnéticos, como el sonido. Fue descubierto antes de que se conociera la naturaleza electromagnética de la luz. [9] [10] [11] [12]
El teorema de reciprocidad de Helmholtz ha sido rigurosamente probado de varias formas, [25] [26] [27] generalmente haciendo uso de la simetría de inversión del tiempo de la mecánica cuántica . Como estas demostraciones más complicadas matemáticamente pueden restar valor a la simplicidad del teorema, Pogany y Turner lo han demostrado en solo unos pocos pasos utilizando una serie de Born . [28] Suponiendo una fuente de luz en un punto A y un punto de observación O, con varios puntos de dispersiónentre ellos, la ecuación de Schrödinger se puede utilizar para representar la función de onda resultante en el espacio:
Al aplicar una función de Green , la ecuación anterior se puede resolver para la función de onda en una forma integral (y por lo tanto iterativa):
dónde
- .
A continuación, es válido suponer que la solución dentro del medio de dispersión en el punto O puede aproximarse mediante una serie de Born, haciendo uso de la aproximación de Born en la teoría de la dispersión. Al hacerlo, la serie se puede iterar de la manera habitual para generar la siguiente solución integral:
Observando nuevamente la forma de la función de Green, es evidente que el cambio y en el formulario anterior no cambiará el resultado; es decir,, que es el enunciado matemático del teorema de reciprocidad: cambiar la fuente de luz A y el punto de observación O no altera la función de onda observada.
Aplicaciones
Una implicación simple pero importante de este principio de reciprocidad es que cualquier luz dirigida a través de una lente en una dirección (del objeto al plano de la imagen) es ópticamente igual a su conjugado, es decir, la luz se dirige a través del mismo dispositivo pero en la dirección opuesta. A un electrón que se enfoca a través de cualquier serie de componentes ópticos no le "importa" de qué dirección viene; Siempre que le sucedan los mismos eventos ópticos, la función de onda resultante será la misma. Por ello, este principio tiene importantes aplicaciones en el campo de la microscopía electrónica de transmisión (TEM) . La noción de que los procesos ópticos conjugados producen resultados equivalentes permite al usuario del microscopio comprender más profundamente y tener una flexibilidad considerable en técnicas que involucran difracción de electrones , patrones Kikuchi , [29] imágenes de campo oscuro , [28] y otras.
Una advertencia importante a tener en cuenta es que en una situación en la que los electrones pierden energía después de interactuar con el medio de dispersión de la muestra, no hay simetría de inversión del tiempo. Por lo tanto, la reciprocidad solo se aplica realmente en situaciones de dispersión elástica . En el caso de la dispersión inelástica con una pequeña pérdida de energía, se puede demostrar que se puede utilizar la reciprocidad para aproximar la intensidad (en lugar de la amplitud de la onda). [28] Por tanto, en muestras muy gruesas o en las que predomina la dispersión inelástica, los beneficios de utilizar la reciprocidad para las aplicaciones TEM antes mencionadas ya no son válidas. Además, se ha demostrado experimentalmente que la reciprocidad se aplica en un TEM en las condiciones adecuadas, [28] pero la física subyacente del principio dicta que la reciprocidad solo puede ser verdaderamente exacta si la transmisión de rayos se produce únicamente a través de campos escalares, es decir, sin campos magnéticos. . Por lo tanto, podemos concluir que las distorsiones de la reciprocidad debidas a los campos magnéticos de las lentes electromagnéticas en TEM pueden ignorarse en condiciones de funcionamiento típicas. [30] Sin embargo, los usuarios deben tener cuidado de no aplicar reciprocidad a técnicas de imágenes magnéticas, TEM de materiales ferromagnéticos o situaciones TEM extrañas sin una consideración cuidadosa. Generalmente, las piezas polares para TEM se diseñan utilizando análisis de elementos finitos de los campos magnéticos generados para garantizar la simetría.
Los sistemas de lentes de objetivo magnético se han utilizado en TEM para lograr una resolución a escala atómica mientras se mantiene un entorno libre de campo magnético en el plano de la muestra, [31] pero el método para hacerlo aún requiere un gran campo magnético por encima (y por debajo) del muestra, negando así cualquier efecto de mejora de la reciprocidad que cabría esperar. Este sistema funciona colocando la muestra entre las piezas polares de la lente del objetivo frontal y trasera, como en un TEM ordinario, pero las dos piezas polares se mantienen en simetría especular exacta con respecto al plano de la muestra entre ellas. Mientras tanto, sus polaridades de excitación son exactamente opuestas, generando campos magnéticos que se cancelan casi perfectamente en el plano de la muestra. Sin embargo, dado que no se cancelan en ningún otro lugar, la trayectoria del electrón aún debe atravesar campos magnéticos.
La reciprocidad también se puede utilizar para comprender la principal diferencia entre TEM y microscopía electrónica de transmisión de barrido (STEM) , que se caracteriza en principio por cambiar la posición de la fuente de electrones y el punto de observación. Esto es efectivamente lo mismo que invertir el tiempo en un TEM para que los electrones viajen en la dirección opuesta. Por lo tanto, en condiciones apropiadas (en las que se aplica la reciprocidad), el conocimiento de las imágenes TEM puede ser útil para tomar e interpretar imágenes con STEM.
Referencias
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Ver también
- Reciprocidad (electromagnetismo)