Gott era hijo de Thomas Greening (fallecido en febrero de 1757), jardinero del rey Jorge II, cuyo padre Thomas (fallecido en septiembre de 1757) había ocupado el mismo cargo. Varios otros miembros de su familia también fueron jardineros de la realeza y la aristocracia.
En 1769, Henry Greening cambió su apellido por el de Gott, siguiendo los términos del testamento de su prima Mary Gott de Streat, Sussex. [1]
Su hija Sarah se casó primero con Robert Whitcombe de The Whittern, Lyonshall, y en segundo lugar con Sir Harford Jones Brydges, primer baronet . La madre de Sarah y las madres de sus dos maridos eran hermanas, hijas de Richard Hooper de Lyonshall.