En matemáticas , la identidad de Hermite , que lleva el nombre de Charles Hermite , da el valor de una suma que involucra la función de piso . Establece que para cada número real xy para cada entero positivo n se cumple la siguiente identidad : [1] [2]
Prueba
Separar en su parte entera y fraccionaria ,. Hay exactamente uno con
Restando el mismo número entero desde el interior de las operaciones de piso en los lados izquierdo y derecho de esta desigualdad, se puede reescribir como
Por lo tanto,
y multiplicar ambos lados por da
Ahora bien, si la suma de la identidad de Hermite se divide en dos partes en el índice , se vuelve
Prueba alternativa
Considere la función
Entonces la identidad es claramente equivalente a la declaración por todo real . Pero luego encontramos
Donde en la última igualdad usamos el hecho de que para todos los enteros . Pero entonces tiene período . Entonces es suficiente para demostrar que para todos . Pero en este caso, la parte integral de cada sumando en es igual a 0. Deducimos que la función es de hecho 0 para todas las entradas reales .
Referencias
- ^ Savchev, Svetoslav; Andreescu, Titu (2003), "12 Identidad de Hermite", Miniaturas matemáticas , Nueva Biblioteca Matemática, 43 , Asociación Matemática de América , págs. 41–44, ISBN 9780883856451.
- ^ Matsuoka, Yoshio (1964), "Notas de clase: en una prueba de la identidad de Hermite", The American Mathematical Monthly , 71 (10): 1115, doi : 10.2307 / 2311413 , MR 1533020.