En matemáticas , la desigualdad de Hermite-Hadamard , llamada así por Charles Hermite y Jacques Hadamard y a veces también llamada desigualdad de Hadamard , establece que si una función ƒ: [ a , b ] → R es convexa , entonces se cumple la siguiente cadena de desigualdades:
La desigualdad se ha generalizado a dimensiones superiores: si es un dominio convexo acotado y es una función convexa positiva, entonces
dónde es una constante que depende solo de la dimensión.
Un corolario de las integrales de tipo Vandermonde
Suponga que −∞ < a < b <∞ , y elija n valores distintos { x j }n
j = 1de ( a , b ) . Let f : [ a , b ] → ℝ ser convexa, y dejar que denotan la "partida integral en un " operador ; es decir,
- .
Luego
La igualdad es válida para todos { x j }n
j = 1iff f es lineal, y para todo f iff { x j }n
j = 1 es constante, en el sentido de que
El resultado se sigue de la inducción en n .
Referencias
- Jacques Hadamard , "Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann ", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , volumen 58, 1893, páginas 171–215.
- Zoltán Retkes, "Una extensión de la desigualdad Hermite-Hadamard ", Acta Sci. Matemáticas. (Szeged) , 74 (2008), páginas 95-106.
- Mihály Bessenyei, "The Hermite-Hadamard Inequality on Simplices ", American Mathematical Monthly , volumen 115, abril de 2008, páginas 339–345.
- Flavia-Corina Mitroi, Eleutherius Symeonidis, "El inverso de la desigualdad de Hermite-Hadamard sobre simplices", Expo. Matemáticas. 30 (2012), págs. 389–396. doi : 10.1016 / j.exmath.2012.08.011 ; ISSN 0723-0869
- Stefan Steinerberger, The Hermite-Hadamard Inequality in Higher Dimensions, The Journal of Geometric Analysis, 2019.