Función convexa

En matemáticas , una función de valor real definida en un intervalo n- dimensional se llama convexa si el segmento de línea entre dos puntos cualesquiera en el gráfico de la función se encuentra por encima del gráfico entre los dos puntos. De manera equivalente, una función es convexa si su epígrafe (el conjunto de puntos sobre o sobre la gráfica de la función) es un conjunto convexo . Una función dos veces diferenciable de una sola variable es convexa si y solo si su segunda derivada no es negativa en todo su dominio. ^[1] Ejemplos bien conocidos de funciones convexas de una sola variable incluyen lafunción cuadrática ${\ Displaystyle x ^ {2}}$ y la función exponencial ${\ Displaystyle e ^ {x}}$ . En términos simples, una función convexa se refiere a una función que tiene la forma de una taza. ${\ Displaystyle \ cup}$ , y una función cóncava tiene la forma de una tapa ${\ Displaystyle \ cap}$ .

Función convexa en un intervalo.

Una función (en negro) es convexa si y solo si la región sobre su gráfico (en verde) es un conjunto convexo .

Una gráfica de la función convexa bivariada x ² + xy + y ² .

Las funciones convexas juegan un papel importante en muchas áreas de las matemáticas. Son especialmente importantes en el estudio de problemas de optimización en los que se distinguen por una serie de propiedades convenientes. Por ejemplo, una función estrictamente convexa en un conjunto abierto no tiene más de un mínimo. Incluso en espacios de dimensión infinita, bajo hipótesis adicionales adecuadas, las funciones convexas continúan satisfaciendo tales propiedades y, como resultado, son las funcionales mejor entendidas en el cálculo de variaciones . En la teoría de la probabilidad , una función convexa aplicada al valor esperado de una variable aleatoria siempre está delimitada por encima del valor esperado de la función convexa de la variable aleatoria. Este resultado, conocido como desigualdad de Jensen , se puede utilizar para deducir desigualdades como la desigualdad media aritmética-geométrica y la desigualdad de Hölder .

Definición

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Reproducir medios

Visualización de una función convexa y la desigualdad de Jensen

Dejar ${\ Displaystyle X}$ ser un subconjunto convexo de un espacio vectorial real y sea ${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ser una función.

Luego ${\ Displaystyle f}$ se llama convexo si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

Para todos ${\ Displaystyle 0 \ leq t \ leq 1}$ y todo ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ in X}$ :
${\ Displaystyle f \ left (tx_ {1} + (1-t) x_ {2} \ right) ~ \ leq ~ tf \ left (x_ {1} \ right) + (1-t) f \ left (x_ {2} \ right)}$
El lado derecho representa la línea recta entre ${\ Displaystyle \ left (x_ {1}, f \ left (x_ {1} \ right) \ right)}$ y ${\ Displaystyle \ left (x_ {2}, f \ left (x_ {2} \ right) \ right)}$ en la gráfica de ${\ Displaystyle f}$ como una función de ${\ Displaystyle t;}$ creciente ${\ Displaystyle t}$ de ${\ displaystyle 0}$ a ${\ Displaystyle 1}$ o disminuyendo ${\ Displaystyle t}$ de ${\ Displaystyle 1}$ a ${\ displaystyle 0}$ barre esta línea. Del mismo modo, el argumento de la función ${\ Displaystyle f}$ en el lado izquierdo representa la línea recta entre ${\ Displaystyle x_ {1}}$ y ${\ Displaystyle x_ {2}}$ en ${\ Displaystyle X}$ o el ${\ Displaystyle x}$ -eje de la gráfica de ${\ Displaystyle f.}$ Entonces, esta condición requiere que la línea recta entre cualquier par de puntos en la curva de ${\ Displaystyle f}$ estar por encima o simplemente cumple con el gráfico. ^[2]
Para todos ${\ Displaystyle 0$ y todo ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ in X}$ tal que ${\ Displaystyle x_ {1} \ neq x_ {2}}$ :
${\ Displaystyle f \ left (tx_ {1} + (1-t) x_ {2} \ right) ~ \ leq ~ tf \ left (x_ {1} \ right) + (1-t) f \ left (x_ {2} \ right)}$
La diferencia de esta segunda condición con respecto a la primera condición anterior es que esta condición no incluye los puntos de intersección (por ejemplo, ${\ Displaystyle \ left (x_ {1}, f \ left (x_ {1} \ right) \ right)}$ y ${\ Displaystyle \ left (x_ {2}, f \ left (x_ {2} \ right) \ right)}$ ) entre la línea recta que pasa por un par de puntos en la curva de ${\ Displaystyle f}$ (la línea recta está representada por el lado derecho de esta condición) y la curva de ${\ Displaystyle f;}$ la primera condición incluye los puntos de intersección a medida que se convierte en ${\ Displaystyle f \ left (x_ {1} \ right) \ leq f \ left (x_ {1} \ right)}$ o ${\ Displaystyle f \ left (x_ {2} \ right) \ leq f \ left (x_ {2} \ right)}$ a ${\ Displaystyle t = 0}$ o ${\ Displaystyle 1,}$ o ${\ Displaystyle x_ {1} = x_ {2}.}$ De hecho, los puntos de intersección no necesitan ser considerados en una condición de convexo usando ${\ Displaystyle f \ left (tx_ {1} + (1-t) x_ {2} \ right) ~ \ leq ~ tf \ left (x_ {1} \ right) + (1-t) f \ left (x_ {2} \ right)}$ porque ${\ Displaystyle f \ left (x_ {1} \ right) \ leq f \ left (x_ {1} \ right)}$ y ${\ Displaystyle f \ left (x_ {2} \ right) \ leq f \ left (x_ {2} \ right)}$ son siempre verdaderas (por lo que no es útil formar parte de una condición).

El segundo enunciado que caracteriza las funciones convexas que se valoran en la línea real ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ es también la declaración utilizada para definir funciones convexas que se valoran en la recta numérica real extendida ${\ Displaystyle [- \ infty, \ infty] = \ mathbb {R} \ cup \ {\ pm \ infty \},}$ donde tal función ${\ Displaystyle f}$ está permitido (pero no está obligado a) tomar ${\ Displaystyle \ pm \ infty}$ como valor. La primera declaración no se usa porque permite ${\ Displaystyle t}$ tomar ${\ displaystyle 0}$ o ${\ Displaystyle 1}$ como valor, en cuyo caso, si ${\ Displaystyle f \ left (x_ {1} \ right) = \ pm \ infty}$ o ${\ Displaystyle f \ left (x_ {2} \ right) = \ pm \ infty,}$ respectivamente, entonces ${\ Displaystyle tf \ left (x_ {1} \ right) + (1-t) f \ left (x_ {2} \ right)}$ sería indefinido (porque las multiplicaciones ${\ Displaystyle 0 \ cdot \ infty}$ y ${\ Displaystyle 0 \ cdot (- \ infty)}$ son indefinidos). La suma ${\ Displaystyle - \ infty + \ infty}$ también está indefinido, por lo que una función convexa extendida de valor real generalmente solo se permite tomar exactamente uno de ${\ Displaystyle - \ infty}$ y ${\ Displaystyle + \ infty}$ como valor.

La segunda declaración también se puede modificar para obtener la definición de convexidad estricta , donde la última se obtiene reemplazando ${\ Displaystyle \, \ leq \,}$ con la estricta desigualdad ${\ Displaystyle \, <.}$ Explícitamente, el mapa ${\ Displaystyle f}$ se llama estrictamente convexo si y solo si para todo real ${\ Displaystyle 0$ y todo ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ in X}$ tal que ${\ Displaystyle x_ {1} \ neq x_ {2}}$ :

{\ Displaystyle f \ left (tx_ {1} + (1-t) x_ {2} \ right) ~ <~ tf \ left (x_ {1} \ right) + (1-t) f \ left (x_ { 2} \ right)}

Una función estrictamente convexa ${\ Displaystyle f}$ es una función que la línea recta entre cualquier par de puntos en la curva ${\ Displaystyle f}$ está por encima de la curva ${\ Displaystyle f}$ excepto por los puntos de intersección entre la línea recta y la curva.

La función ${\ Displaystyle f}$ se dice que es cóncavo (resp. estrictamente cóncavo ) si ${\ Displaystyle -f}$ ( ${\ Displaystyle f}$ multiplicado por -1) es convexo (o estrictamente convexo).

Nombres alternativos

El término convexo a menudo se denomina convexo hacia abajo o cóncavo hacia arriba , y el término cóncavo a menudo se denomina cóncavo hacia abajo o convexo hacia arriba . ^[3]^[4]^[5] Si el término "convexo" se usa sin una palabra clave "arriba" o "abajo", entonces se refiere estrictamente a un gráfico en forma de taza ${\ Displaystyle \ cup}$ . Como ejemplo, la desigualdad de Jensen se refiere a una desigualdad que involucra una función convexa o convexa (hacia arriba). ^[6]

Propiedades

Muchas propiedades de funciones convexas tienen la misma formulación simple para funciones de muchas variables que para funciones de una variable. Vea a continuación las propiedades para el caso de muchas variables, ya que algunas de ellas no están listadas para funciones de una variable.

Funciones de una variable

Suponer ${\ Displaystyle f}$ es una función de una variable real definida en un intervalo, y sea

{\ Displaystyle R (x_ {1}, x_ {2}) = {\ frac {f (x_ {2}) - f (x_ {1})} {x_ {2} -x_ {1}}}}

(tenga en cuenta que

{\ Displaystyle R (x_ {1}, x_ {2})}

es la pendiente de la línea violeta en el dibujo anterior; la función R es simétrica en

{\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}),}

significa que R no cambia al intercambiar

{\ Displaystyle x_ {1}}

y

{\ Displaystyle x_ {2}}

).

{\ Displaystyle f}

es convexo si y solo si

{\ Displaystyle R (x_ {1}, x_ {2})}

es monótonamente no decreciente en

{\ Displaystyle x_ {1},}

por cada fijo

{\ Displaystyle x_ {2}}

(o viceversa). Esta caracterización de la convexidad es bastante útil para probar los siguientes resultados.

Una función convexa ${\ Displaystyle f}$ de una variable real definida en algún intervalo abierto $C$ es continua en ${\ Displaystyle C.}$ ${\ Displaystyle f}$ admite derivadas izquierda y derecha , y estas son monótonamente no decrecientes . Como consecuencia, ${\ Displaystyle f}$ es diferenciable en todos, pero en muchos puntos contables , el conjunto en el que ${\ Displaystyle f}$ no es diferenciable, sin embargo, puede ser denso. Si ${\ Displaystyle C}$ está cerrado, entonces ${\ Displaystyle f}$ puede no ser continuo en los puntos finales de ${\ Displaystyle C}$ (se muestra un ejemplo en la sección de ejemplos ).
Una función diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y solo si su derivada es monótonamente no decreciente en ese intervalo. Si una función es diferenciable y convexa, también es continuamente diferenciable .
Una función diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y solo si su gráfica se encuentra por encima de todas sus tangentes : ^[7]^{: 69}

{\ Displaystyle f (x) \ geq f (y) + f '(y) (xy)}

para todos los x y y en el intervalo.

Una función dos veces diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y solo si su segunda derivada no es negativa allí; esto da una prueba práctica de convexidad. Visualmente, una función convexa dos veces diferenciable "se curva hacia arriba", sin ninguna curva hacia el otro lado ( puntos de inflexión ). Si su segunda derivada es positiva en todos los puntos, entonces la función es estrictamente convexa, pero la inversa no se cumple. Por ejemplo, la segunda derivada de ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {4}}$ es ${\ Displaystyle f ^ {''} (x) = 12x ^ {2}}$ , que es cero para ${\ Displaystyle x = 0,}$ pero ${\ Displaystyle x ^ {4}}$ es estrictamente convexo.
- Esta propiedad y la propiedad anterior en términos de "... su derivada es monótonamente no decreciente ..." no son iguales ya que si ${\ displaystyle f ^ {''}}$ no es negativo en un intervalo ${\ Displaystyle X}$ luego ${\ displaystyle f ^ {'}}$ es monótonamente no decreciente en ${\ Displaystyle X}$ mientras que su inverso no es cierto, por ejemplo, ${\ displaystyle f ^ {'}}$ es monótonamente no decreciente en ${\ Displaystyle X}$ mientras que su derivada ${\ displaystyle f ^ {''}}$ no está definido en algunos puntos de ${\ Displaystyle X}$ .
Si ${\ Displaystyle f}$ es una función convexa de una variable real, y ${\ Displaystyle f (0) \ leq 0}$ , luego ${\ Displaystyle f}$ es superaditivo en los reales positivos , es decir ${\ Displaystyle f (a + b) \ geq f (a) + f (b)}$ para números reales positivos ${\ Displaystyle a}$ y ${\ Displaystyle b}$ .

Prueba

Desde ${\ Displaystyle f}$ es convexo, utilizando una de las definiciones de funciones convexas anteriores y dejando ${\ Displaystyle x_ {2} = 0,}$ se sigue que para todos los reales ${\ Displaystyle 0 \ leq t \ leq 1,}$

{\ Displaystyle f (tx_ {1}) = f (tx_ {1} + (1-t) \ cdot 0) \ leq tf (x_ {1}) + (1-t) f (0) \ leq tf ( x_ {1}) \ rightarrow f (tx_ {1}) \ leq tf (x_ {1})}

De esto se sigue que

{\ Displaystyle f (a) + f (b) = f \ left ((a + b) {\ frac {a} {a + b}} \ right) + f \ left ((a + b) {\ frac {b} {a + b}} \ right) \ leq {\ frac {a} {a + b}} f (a + b) + {\ frac {b} {a + b}} f (a + b ) = f (a + b) \ rightarrow f (a) + f (b) \ leq f (a + b).}

Una función es convexa en el punto medio de un intervalo. ${\ Displaystyle C}$ si por todos ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ in C}$

{\ Displaystyle f \ left ({\ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}} \ right) \ leq {\ frac {f (x_ {1}) + f (x_ {2})} {2}}.}

Esta condición es solo un poco más débil que la convexidad. Por ejemplo, una función medible de Lebesgue de valor real que es convexa de punto medio es convexa: este es un teorema de Sierpinski . ^[8] En particular, una función continua que sea convexa en el punto medio será convexa.

Funciones de varias variables

Una función ${\ Displaystyle f: X \ a [- \ infty, \ infty]}$ valorado en los números reales extendidos ${\ Displaystyle [- \ infty, \ infty] = \ mathbb {R} \ cup \ {\ pm \ infty \}}$ es convexo si y solo si su epígrafe ${\ Displaystyle \ {(x, r) \ in X \ times \ mathbb {R} ~: ~ r \ geq f (x) \}}$ es un conjunto convexo.
Una función diferenciable ${\ Displaystyle f}$ definido en un dominio convexo es convexo si y solo si ${\ Displaystyle f (x) \ geq f (y) + \ nabla f (y) \ cdot (xy)}$ se mantiene para todos ${\ Displaystyle x, y}$ en el dominio.
Una función dos veces diferenciable de varias variables es convexa en un conjunto convexo si y solo si su matriz hessiana de segundas derivadas parciales es semidefinida positiva en el interior del conjunto convexo.
Para una función convexa ${\ Displaystyle f,}$ los conjuntos de subnivel ${\ Displaystyle \ {x: f (x)$ y ${\ Displaystyle \ {x: f (x) \ leq a \}}$ con ${\ Displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ son conjuntos convexos. Una función que satisface esta propiedad se llama función cuasiconvexa y puede no ser una función convexa.
En consecuencia, el conjunto de minimizadores globales de una función convexa ${\ Displaystyle f}$ es un conjunto convexo: ${\ Displaystyle {\ operatorname {argmin}} \, f}$ - convexo.
Cualquier mínimo local de una función convexa es también un mínimo global . Una función estrictamente convexa tendrá como máximo un mínimo global. ^[9]
La desigualdad de Jensen se aplica a todas las funciones convexas. ${\ Displaystyle f}$ . Si ${\ Displaystyle X}$ es una variable aleatoria que toma valores en el dominio de ${\ Displaystyle f,}$ luego ${\ Displaystyle \ operatorname {E} (f (X)) \ geq f (\ operatorname {E} (X)),}$ donde $E$ denota la expectativa matemática . De hecho, las funciones convexas son exactamente aquellas que satisfacen la hipótesis de la desigualdad de Jensen .
Una función homogénea de primer orden de dos variables positivas ${\ Displaystyle x}$ y ${\ Displaystyle y,}$ (es decir, una función que satisface ${\ displaystyle f (ax, ay) = af (x, y)}$ por todo positivo real ${\ Displaystyle a, x, y> 0}$ ) que es convexo en una variable debe ser convexo en la otra variable. ^[10]

Operaciones que preservan la convexidad

${\ Displaystyle -f}$ es cóncavo si y solo si ${\ Displaystyle f}$ es convexo.
Sumas ponderadas no negativas:
- Si ${\ Displaystyle w_ {1}, \ ldots, w_ {n} \ geq 0}$ y ${\ Displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n}}$ son todos convexos, entonces también lo es ${\ Displaystyle w_ {1} f_ {1} + \ cdots + w_ {n} f_ {n}}$ . En particular, la suma de dos funciones convexas es convexa.
- esta propiedad se extiende también a sumas infinitas, integrales y valores esperados (siempre que existan).
Máximo de elementos: dejar ${\ Displaystyle \ {f_ {i} \} _ {i \ in I}}$ ser una colección de funciones convexas. Luego ${\ Displaystyle g (x) = \ sup _ {i \ in I} f_ {i} (x)}$ es convexo. El dominio de ${\ Displaystyle g (x)}$ es la colección de puntos donde la expresión es finita. Casos especiales importantes:
- Si ${\ Displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n}}$ son funciones convexas, entonces también lo es ${\ Displaystyle g (x) = \ max \ {f_ {1} (x), \ ldots, f_ {n} (x) \}}$
- Teorema de Danskin : si ${\ Displaystyle f (x, y)}$ es convexo en ${\ Displaystyle x}$ luego ${\ Displaystyle g (x) = \ sup \ nolimits _ {y \ in C} f (x, y)}$ es convexo en ${\ Displaystyle x}$ incluso si C no es un conjunto convexo.
Composición:
- Si $f$ y $g$ son funciones convexas y $g$ no es decreciente en un dominio univariante, entonces ${\ Displaystyle h (x) = g (f (x))}$ es convexo. Como ejemplo, si ${\ Displaystyle f}$ es convexo, entonces también lo es ${\ Displaystyle e ^ {f (x)}}$ . porque ${\ Displaystyle e ^ {x}}$ es convexo y aumenta monótonamente.
- Si $f$ es cóncava y $g$ es convexa y no aumenta en un dominio univariante, entonces ${\ Displaystyle h (x) = g (f (x))}$ es convexo.
- La convexidad es invariante en mapas afines: es decir, si $f$ es convexa con dominio ${\ Displaystyle D_ {f} \ subseteq \ mathbf {R} ^ {m}}$ , entonces también lo es ${\ Displaystyle g (x) = f (Ax + b)}$ , dónde ${\ Displaystyle A \ in \ mathbf {R} ^ {m \ times n} {\ text {,}} b \ in \ mathbf {R} ^ {m}}$ con dominio ${\ Displaystyle D_ {g} \ subseteq \ mathbf {R} ^ {n}}$ .
Minimización: Si ${\ Displaystyle f (x, y)}$ es convexo en ${\ Displaystyle (x, y)}$ luego ${\ Displaystyle g (x) = \ inf \ nolimits _ {y \ in C} f (x, y)}$ es convexo en x , siempre que C sea un conjunto convexo y que ${\ Displaystyle g (x) \ neq - \ infty}$
Si ${\ Displaystyle f}$ es convexo, entonces su perspectiva ${\ Displaystyle g (x, t) = tf \ left ({\ tfrac {x} {t}} \ right)}$ con dominio ${\ Displaystyle \ left \ lbrace (x, t) \ mid {\ tfrac {x} {t}} \ in \ operatorname {Dom} (f), t> 0 \ right \ rbrace}$ es convexo.

Funciones fuertemente convexas

El concepto de convexidad fuerte extiende y parametriza la noción de convexidad estricta. Una función fuertemente convexa también es estrictamente convexa, pero no al revés.

Una función diferenciable ${\ Displaystyle f}$ se llama fuertemente convexa con parámetro $m > 0$ si la siguiente desigualdad se cumple para todos los puntos $x, y$ en su dominio: ^[11]

{\ Displaystyle (\ nabla f (x) - \ nabla f (y)) ^ {T} (xy) \ geq m \ | xy \ | _ {2} ^ {2}}

o, de manera más general,

{\ Displaystyle \ langle \ nabla f (x) - \ nabla f (y), xy \ rangle \ geq m \ | xy \ | ^ {2}}

dónde ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}$ es cualquier norma . Algunos autores, como ^{[12], se} refieren a funciones que satisfacen esta desigualdad como funciones elípticas .

Una condición equivalente es la siguiente: ^[13]

{\ Displaystyle f (y) \ geq f (x) + \ nabla f (x) ^ {T} (yx) + {\ frac {m} {2}} \ | yx \ | _ {2} ^ {2 }}

No es necesario que una función sea diferenciable para ser fuertemente convexa. Una tercera definición ^[13] para una función fuertemente convexa, con parámetro m , es que, para todo x , y en el dominio y ${\ Displaystyle t \ in [0,1],}$

{\ Displaystyle f (tx + (1-t) y) \ leq tf (x) + (1-t) f (y) - {\ frac {1} {2}} mt (1-t) \ | xy \ | _ {2} ^ {2}}

Observe que esta definición se acerca a la definición de convexidad estricta cuando m → 0, y es idéntica a la definición de una función convexa cuando m = 0. A pesar de esto, existen funciones que son estrictamente convexas pero no fuertemente convexas para cualquier m > 0 ( ver ejemplo a continuación).

Si la función ${\ Displaystyle f}$ es dos veces diferenciable de forma continua, entonces es fuertemente convexo con el parámetro m si y solo si ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} f (x) \ successq mI}$ para todo x en el dominio, donde I es la identidad y ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} f}$ es la matriz de Hesse , y la desigualdad ${\ Displaystyle \ Successq}$ significa que ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} f (x) -mI}$ es positivo semi-definido . Esto equivale a exigir que el valor propio mínimo de ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} f (x)}$ sea al menos m para todo x . Si el dominio es solo la línea real, entonces ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} f (x)}$ es solo la segunda derivada ${\ Displaystyle f '' (x),}$ entonces la condición se convierte en ${\ Displaystyle f '' (x) \ geq m}$ . Si m = 0, esto significa que el hessiano es semidefinito positivo (o si el dominio es la línea real, significa que ${\ Displaystyle f '' (x) \ geq 0}$ ), lo que implica que la función es convexa, y quizás estrictamente convexa, pero no muy convexa.

Asumiendo aún que la función es dos veces continuamente diferenciable, se puede demostrar que el límite inferior de ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} f (x)}$ implica que es fuertemente convexo. Usando el teorema de Taylor existe

{\ Displaystyle z \ in \ {tx + (1-t) y: t \ in [0,1] \}}

tal que

{\ Displaystyle f (y) = f (x) + \ nabla f (x) ^ {T} (yx) + {\ frac {1} {2}} (yx) ^ {T} \ nabla ^ {2} f (z) (yx)}

Luego

{\ Displaystyle (yx) ^ {T} \ nabla ^ {2} f (z) (yx) \ geq m (yx) ^ {T} (yx)}

por la suposición sobre los valores propios, y por lo tanto recuperamos la segunda ecuación de convexidad fuerte anterior.

Una función ${\ Displaystyle f}$ es fuertemente convexa con el parámetro m si y solo si la función

{\ Displaystyle x \ mapsto f (x) - {\ frac {m} {2}} \ | x \ | ^ {2}}

es convexo.

La distinción entre convexo, estrictamente convexo y fuertemente convexo puede ser sutil a primera vista. Si ${\ Displaystyle f}$ es dos veces diferenciable de forma continua y el dominio es la línea real, entonces podemos caracterizarlo de la siguiente manera:

{\ Displaystyle f}

convexo si y solo si

{\ Displaystyle f '' (x) \ geq 0}

para todo

x

.

{\ Displaystyle f}

estrictamente convexo si

{\ Displaystyle f '' (x)> 0}

para todo

x

(nota: esto es suficiente, pero no necesario).

{\ Displaystyle f}

fuertemente convexo si y solo si

{\ Displaystyle f '' (x) \ geq m> 0}

para todo

x

.

Por ejemplo, deja ${\ Displaystyle f}$ ser estrictamente convexo, y suponga que hay una secuencia de puntos ${\ Displaystyle (x_ {n})}$ tal que ${\ Displaystyle f '' (x_ {n}) = {\ tfrac {1} {n}}}$ . Aunque ${\ Displaystyle f '' (x_ {n})> 0}$ , la función no es muy convexa porque ${\ Displaystyle f '' (x)}$ se volverá arbitrariamente pequeño.

Una función dos veces diferenciable de forma continua ${\ Displaystyle f}$ en un dominio compacto ${\ Displaystyle X}$ que satisface ${\ Displaystyle f '' (x)> 0}$ para todos ${\ Displaystyle x \ in X}$ es fuertemente convexo. La prueba de esta afirmación se deriva del teorema del valor extremo , que establece que una función continua en un conjunto compacto tiene un máximo y un mínimo.

Las funciones fuertemente convexas son en general más fáciles de trabajar que las funciones convexas o estrictamente convexas, ya que son una clase más pequeña. Al igual que las funciones estrictamente convexas, las funciones fuertemente convexas tienen mínimos únicos en conjuntos compactos.

Funciones uniformemente convexas

Una función uniformemente convexa, ^[14]^[15] con módulo ${\ Displaystyle \ phi}$ , es una función ${\ Displaystyle f}$ que, para todo x , y en el dominio y $t \in [0, 1]$ , satisface

{\ Displaystyle f (tx + (1-t) y) \ leq tf (x) + (1-t) f (y) -t (1-t) \ phi (\ | xy \ |)}

dónde ${\ Displaystyle \ phi}$ es una función que no es negativa y desaparece solo en 0. Esta es una generalización del concepto de función fuertemente convexa; tomando ${\ Displaystyle \ phi (\ alpha) = {\ tfrac {m} {2}} \ alpha ^ {2}}$ recuperamos la definición de convexidad fuerte.

Ejemplos de

Funciones de una variable

La función ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ posee ${\ Displaystyle f '' (x) = 2> 0}$ , entonces $f$ es una función convexa. También es fuertemente convexo (y por lo tanto estrictamente convexo también), con una fuerte convexidad constante 2.
La función ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {4}}$ posee ${\ Displaystyle f '' (x) = 12x ^ {2} \ geq 0}$ , entonces $f$ es una función convexa. Es estrictamente convexo, aunque la segunda derivada no es estrictamente positiva en todos los puntos. No es muy convexo.
La función de valor absoluto ${\ Displaystyle f (x) = | x |}$ es convexo (como se refleja en la desigualdad del triángulo ), aunque no tiene una derivada en el punto x = 0. No es estrictamente convexo.
La función ${\ Displaystyle f (x) = | x | ^ {p}}$ por ${\ Displaystyle p \ geq 1}$ es convexo.
La función exponencial ${\ Displaystyle f (x) = e ^ {x}}$ es convexo. También es estrictamente convexo, ya que ${\ Displaystyle f '' (x) = e ^ {x}> 0}$ , pero no es fuertemente convexo ya que la segunda derivada puede ser arbitrariamente cercana a cero. De manera más general, la función ${\ Displaystyle g (x) = e ^ {f (x)}}$ es logarítmicamente convexa si $f$ es una función convexa. En su lugar, a veces se utiliza el término "superconvexo". ^[dieciséis]
La función ${\ Displaystyle f}$ con dominio [0,1] definido por ${\ Displaystyle f (0) = f (1) = 1, f (x) = 0}$ por ${\ Displaystyle 0$ es convexo es continuo en el intervalo abierto (0, 1), pero no continuo en 0 y 1.
La función x ³ tiene una segunda derivada 6 x ; por tanto, es convexo en el conjunto donde x ≥ 0 y cóncavo en el conjunto donde x ≤ 0.
Ejemplos de funciones que aumentan monótonamente pero no convexas incluyen ${\ Displaystyle f (x) = {\ sqrt {x}}}$ y ${\ Displaystyle g (x) = \ log x}$ .
Ejemplos de funciones que son convexas pero que no aumentan monótonamente incluyen ${\ Displaystyle h (x) = x ^ {2}}$ y ${\ Displaystyle k (x) = - x}$ .
La función ${\ Displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x}}}$ posee ${\ Displaystyle f '' (x) = {\ tfrac {2} {x ^ {3}}}}$ que es mayor que 0 si x > 0, entonces ${\ Displaystyle f (x)}$ es convexo en el intervalo ${\ displaystyle (0, \ infty)}$ . Es cóncavo en el intervalo ${\ Displaystyle (- \ infty, 0)}$ .
La función ${\ Displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x ^ {2}}}}$ con ${\ Displaystyle f (0) = \ infty}$ , es convexo en el intervalo ${\ displaystyle (0, \ infty)}$ y convexo en el intervalo ${\ Displaystyle (- \ infty, 0)}$ , pero no convexo en el intervalo ${\ Displaystyle (- \ infty, \ infty)}$ , debido a la singularidad en x = 0.

Funciones de n variables

La función LogSumExp , también llamada función softmax, es una función convexa.
La función ${\ Displaystyle - \ log \ det (X)}$ en el dominio de matrices definidas positivas es convexa. ^[7]^{: 74}
Toda transformación lineal de valor real es convexa pero no estrictamente convexa, ya que si $f$ es lineal, entonces ${\ Displaystyle f (a + b) = f (a) + f (b)}$ . Esta afirmación también es válida si reemplazamos "convexo" por "cóncavo".
Cada función afín de valor real , es decir, cada función de la forma ${\ Displaystyle f (x) = a ^ {T} x + b}$ , es a la vez convexa y cóncava.
Toda norma es una función convexa, por la desigualdad triangular y la homogeneidad positiva .
El radio espectral de una matriz no negativa es una función convexa de sus elementos diagonales. ^[17]

Ver también

Función cóncava
Análisis convexo
Conjugado convexo
Optimizacion convexa
Convexidad geodésica
Desigualdad de Hermite-Hadamard
Función Invex
La desigualdad de Jensen
Función K-convexa
El teorema de Kachurovskii , que relaciona la convexidad con la monotonicidad de la derivada
La desigualdad de Karamata
Función logarítmicamente convexa
Función pseudoconvexa
Función cuasiconvexa
Subderivada de una función convexa

Notas

^ "Notas de la conferencia 2" (PDF) . www.stat.cmu.edu . Consultado el 3 de marzo de 2017 .
^ "Cóncavo hacia arriba y hacia abajo" .
^ Stewart, James (2015). Cálculo (8ª ed.). Aprendizaje Cengage. págs. 223–224. ISBN 978-1305266643.
^ W. Hamming, Richard (2012). Métodos de matemáticas aplicadas al cálculo, probabilidad y estadística (edición ilustrada). Corporación de mensajería. pag. 227. ISBN 978-0-486-13887-9. Extracto de la página 227
^ Uvarov, Vasiliĭ Borisovich (1988). Análisis matemático . Editores Mir. pag. 126-127. ISBN 978-5-03-000500-3.
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Referencias

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enlaces externos

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