Mapa de Ikeda

En física y matemáticas , el mapa de Ikeda es un sistema dinámico de tiempo discreto dado por el mapa complejo

Las trayectorias de 2000 puntos aleatorios en un mapa de Ikeda con u = 0,918.

${\displaystyle z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{i(|z_{n}|^{2}+C)}}$

El mapa original fue propuesto primero por Kensuke Ikeda como un modelo de luz que circula a través de un resonador óptico no lineal ( cavidad de anillo que contiene un medio dieléctrico no lineal ) en una forma más general. Se reduce a la forma "normal" simplificada anterior por Ikeda, Daido y Akimoto ^{[1] [2]} ${\displaystyle z_{n}}$ representa el campo eléctrico dentro del resonador en el n-ésimo paso de rotación en el resonador, y ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle C}$son parámetros que indican la luz láser aplicada desde el exterior y la fase lineal a través del resonador, respectivamente. En particular el parámetro${\displaystyle B\leq 1}$ se llama parámetro de disipación que caracteriza la pérdida de resonador, y en el límite de ${\displaystyle B=1}$ el mapa de Ikeda se convierte en un mapa conservador.

El mapa original de Ikeda se usa a menudo en otra forma modificada para tener en cuenta el efecto de saturación del medio dieléctrico no lineal:

${\displaystyle z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{iK/(|z_{n}|^{2}+1)+C}}$

Un ejemplo real en 2D del formulario anterior es:

${\displaystyle x_{n+1}=1+u(x_{n}\cos t_{n}-y_{n}\sin t_{n}),\,}$

${\displaystyle y_{n+1}=u(x_{n}\sin t_{n}+y_{n}\cos t_{n}),\,}$

donde u es un parámetro y

${\displaystyle t_{n}=0.4-{\frac {6}{1+x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}.}$

Para ${\displaystyle u\geq 0.6}$, este sistema tiene un atractor caótico .

Atractor

Esta animación muestra cómo el atractor del sistema cambia a medida que el parámetro${\displaystyle u}$varía de 0,0 a 1,0 en pasos de 0,01. El sistema dinámico de Ikeda se simula en 500 pasos, a partir de 20000 puntos de partida colocados al azar. Los últimos 20 puntos de cada trayectoria se trazan para representar el atractor . Tenga en cuenta la bifurcación de los puntos atractores como${\displaystyle u}$ está incrementado.

${\displaystyle u=0.3}$	${\displaystyle u=0.5}$
${\displaystyle u=0.7}$	${\displaystyle u=0.9}$

Trayectorias puntuales

Los gráficos a continuación muestran trayectorias de 200 puntos aleatorios para varios valores de ${\displaystyle u}$. El recuadro de la izquierda muestra una estimación del atractor, mientras que el recuadro de la derecha muestra una vista ampliada del diagrama de la trayectoria principal.

u = 0,1	u = 0,5	u = 0,65
u = 0,7	u = 0,8	u = 0,85
u = 0,9	u = 0,908	u = 0,92

Código de octava / MATLAB para trayectorias de puntos

"> Reproducir medios

El mapa de Ikeda está compuesto por una rotación (por un ángulo dependiente del radio), un cambio de escala y un cambio. Este proceso de "estiramiento y plegado" da lugar al atractor extraño.