En geometría algebraica , un punto infinitamente cercano de una superficie algebraica S es un punto en una superficie obtenida de S al expandir puntos repetidamente. Max Noether ( 1876 ) introdujo los puntos infinitamente cercanos de las superficies algebraicas . [1]
Hay algunos otros significados de "punto infinitamente cercano". Los puntos infinitamente cercanos también se pueden definir para variedades de dimensiones superiores: hay varias formas no equivalentes de hacer esto, dependiendo de lo que se le permita explotar. Weil dio una definición de puntos infinitamente cercanos de variedades suaves, [2] aunque estos no son lo mismo que puntos infinitamente cercanos en geometría algebraica. En la recta de los números hiperreales , una extensión de la recta de los números reales , dos puntos se llaman infinitamente cercanos si su diferencia es infinitesimal .
Cuando se aplica la ampliación a un punto P en una superficie S , la nueva superficie S * contiene una curva completa C donde solía estar P. Los puntos de C tienen la interpretación geométrica como las direcciones tangentes en P a S . Se pueden llamar infinitamente cerca de P como una forma de visualizarlos en S , en lugar de S *. De manera más general, esta construcción se puede repetir ampliando un punto en la nueva curva C , y así sucesivamente.
Un punto infinitamente cercano (de orden n ) P n sobre una superficie S 0 está dado por una sucesión de puntos P 0 , P 1 ,..., P n sobre superficies S 0 , S 1 ,..., S n tales que S i se da al inflar S i –1 en el punto P i –1 y P i es un punto de la superficie S i con imagen Pyo –1 .
Los puntos infinitamente cercanos corresponden a valoraciones unidimensionales de la función campo de S con centro dimensional 0 y, en particular, corresponden a algunos de los puntos de la superficie de Zariski-Riemann . (Las valoraciones unidimensionales con centro unidimensional corresponden a curvas irreducibles de S .) También es posible iterar la construcción infinitamente a menudo, produciendo una secuencia infinita P 0 , P 1 ,... de puntos infinitamente cercanos. Estas secuencias infinitas corresponden a las valoraciones de dimensión 0 del campo de funciones de la superficie, que corresponden a los puntos de "dimensión 0" de la superficie de Zariski-Riemann .
Si C y D son curvas irreductibles distintas sobre una superficie lisa S que se cortan en un punto p , entonces la multiplicidad de su intersección en p viene dada por