En matemática constructiva , un conjunto A está habitado si existe un elemento. En matemáticas clásicas, esto es lo mismo que el conjunto no está vacío; sin embargo, esta equivalencia no es válida en la lógica intuicionista (o lógica constructiva).
Comparación con conjuntos no vacíos
En matemáticas clásicas , un conjunto está habitado si y solo si no es el conjunto vacío . Sin embargo, estas definiciones divergen en matemáticas constructivas . Un conjunto A no está vacío si no está vacío, es decir, si
Está habitada si
En la lógica intuicionista, la negación de un cuantificador universal es más débil que un cuantificador existencial , no equivalente a él como en la lógica clásica .
Ejemplo
Debido a que los conjuntos habitados son los mismos que los conjuntos no vacíos en la lógica clásica, no es posible producir un modelo en el sentido clásico que contenga un conjunto no vacío X pero que no satisfaga " X está habitado". Pero es posible construir un modelo Kripke M que satisfaga " X no está vacío" sin satisfacer " X está habitado". Debido a que una implicación es demostrable en la lógica intuicionista si y solo si es verdadera en todos los modelos de Kripke, esto significa que no se puede probar en esta lógica que " X no está vacío" implica " X está habitado".
La posibilidad de esta construcción se basa en la interpretación intuicionista del cuantificador existencial. En un entorno intuicionista, con el fin depara sostener, por alguna fórmula , es necesario para que un valor específico de z satisfaga ser conocido.
Por ejemplo, considere un subconjunto X de {0,1} especificado por la siguiente regla: 0 pertenece a X si y solo si la hipótesis de Riemann es verdadera, y 1 pertenece a X si y solo si la hipótesis de Riemann es falsa. Si asumimos que la hipótesis de Riemann es verdadera o falsa, entonces X no está vacío, pero ninguna prueba constructiva que X está habitado habría ya sea demostrar que 0 es en X o que 1 se encuentra en X . Así, una prueba constructiva de que X está habitada determinaría el valor de verdad de la hipótesis de Riemann, que no se conoce. Al reemplazar la hipótesis de Riemann en este ejemplo por una proposición genérica, se puede construir un modelo de Kripke con un conjunto que no está vacío ni habitada (incluso si la hipótesis de Riemann misma se prueba o refuta alguna vez).
Referencias
- D. Bridges y F. Richman. 1987. Variedades de matemáticas constructivas . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-521-31802-0
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