Curva de rendimiento

Este artículo trata sobre las relaciones entre los rendimientos de los bonos de diferentes vencimientos. Para otros usos, consulte Curva de rendimiento (desambiguación) .

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La curva de rendimiento de los bonos del Tesoro de EE. UU. Al 13 de mayo de 2018. La curva tiene una forma típica de pendiente ascendente.

Tesorería a 2 y 10 años en comparación con la Tasa de Fondos Federales

El diferencial de 2 a 10 años se reduce cuando aumenta la Tasa de Fondos Federales y las recesiones tienden a ocurrir cuando el FFR supera los bonos del Tesoro de 2 y 10 años.

En finanzas , la curva de rendimiento es una curva que muestra varios rendimientos al vencimiento o tasas de interés en diferentes duraciones de contrato (2 meses, 2 años, 20 años, etc. ...) para un contrato de deuda similar. La curva muestra la relación entre el (nivel de) la tasa de interés (o el costo del préstamo) y el tiempo hasta el vencimiento , conocido como el "plazo", de la deuda de un prestatario determinado en una moneda determinada . ^[1]

Los dólares estadounidenses tipos de remuneración de los valores del Tesoro de Estados Unidos para diversos vencimientos son vigilados de cerca por muchos comerciantes, y comúnmente se trazan en un gráfico como el de la derecha, que se llama informalmente "la curva de rendimiento". ^[2] Las descripciones matemáticas más formales de esta relación a menudo se denominan estructura temporal de tipos de interés .

La curva de rendimiento

La curva de rendimiento de la libra esterlina el 9 de febrero de 2005. Esta curva es inusual (invertida) ya que las tasas de largo plazo son más bajas que las de corto plazo.

Las curvas de rendimiento suelen tener pendiente ascendente de forma asintótica : cuanto más largo es el vencimiento, mayor es el rendimiento, con incrementos marginales decrecientes (es decir, a medida que uno se mueve hacia la derecha, la curva se aplana).

Hay dos explicaciones comunes para las curvas de rendimiento con pendiente positiva. Primero, puede ser que el mercado esté anticipando un aumento en la tasa libre de riesgo . Si los inversores postergan la inversión ahora, es posible que reciban una mejor tasa en el futuro. Por lo tanto, según la teoría de los precios de arbitraje , los inversores que estén dispuestos a bloquear su dinero ahora deben ser compensados ​​por el aumento anticipado de las tasas, por lo tanto, la tasa de interés más alta en las inversiones a largo plazo. Otra explicación es que los vencimientos más largos conllevan mayores riesgos para el inversor (es decir, el prestamista). Una prima de riesgoes necesario por el mercado, ya que a mayores duraciones hay más incertidumbre y una mayor probabilidad de eventos catastróficos que impacten la inversión. Esta explicación depende de la noción de que la economía enfrenta más incertidumbres en un futuro lejano que en el corto plazo. Este efecto se conoce como diferencial de liquidez . Si el mercado espera más volatilidad en el futuro, incluso si se prevé que disminuyan las tasas de interés, el aumento de la prima de riesgo puede influir en el diferencial y provocar un aumento del rendimiento.

También puede ocurrir la posición opuesta (tasas de interés a corto plazo más altas que a largo plazo). Por ejemplo, en noviembre de 2004, la curva de rendimiento de los bonos del gobierno del Reino Unido se invirtió parcialmente . El rendimiento del bono a 10 años se situó en 4,68%, pero fue sólo del 4,45% para el bono a 30 años. La anticipación del mercado a la caída de las tasas de interés provoca tales incidentes. También pueden existir primas de liquidez negativas si los inversores a largo plazo dominan el mercado, pero la opinión predominante es que domina una prima de liquidez positiva, por lo que solo la anticipación de la caída de las tasas de interés provocará una curva de rendimiento invertida. Históricamente, las curvas de rendimiento fuertemente invertidas han precedido a las recesiones económicas.

La forma de la curva de rendimiento está influenciada por la oferta y la demanda : por ejemplo, si hay una gran demanda de bonos largos, por ejemplo de fondos de pensiones para igualar sus pasivos fijos con los jubilados, y no existen suficientes bonos para satisfacer esta demanda, entonces se puede esperar que los rendimientos de los bonos largos sean bajos, independientemente de las opiniones de los participantes del mercado sobre eventos futuros.

La curva de rendimiento también puede ser plana o con forma de joroba, debido a que las tasas de interés anticipadas son estables, o la volatilidad a corto plazo supera la volatilidad a largo plazo.

Las curvas de rendimiento se mueven continuamente todo el tiempo que los mercados están abiertos, lo que refleja la reacción del mercado a las noticias. Otro " hecho estilizado " es que las curvas de rendimiento tienden a moverse en paralelo (es decir, la curva de rendimiento se desplaza hacia arriba y hacia abajo a medida que los niveles de las tasas de interés suben y bajan: un "cambio paralelo").

Tipos de curva de rendimiento

No existe una curva de rendimiento única que describa el costo del dinero para todos. El factor más importante para determinar una curva de rendimiento es la moneda en la que están denominados los valores. La posición económica de los países y empresas que utilizan cada moneda es un factor principal para determinar la curva de rendimiento. Diferentes instituciones piden prestado dinero a diferentes tasas, dependiendo de su solvencia .

Las curvas de rendimiento correspondientes a los bonos emitidos por los gobiernos en su propia moneda se denominan curva de rendimiento de los bonos del gobierno (curva del gobierno). Los bancos con calificaciones crediticias altas (Aa / AA o superiores) se piden prestado dinero entre sí a las tasas LIBOR . Estas curvas de rendimiento suelen ser un poco más altas que las curvas gubernamentales. Son los más importantes y ampliamente utilizados en los mercados financieros, y se conocen de diversas formas como curva LIBOR o curva swap . La construcción de la curva swap se describe a continuación.

Además de la curva del gobierno y la curva LIBOR, existen curvas corporativas (de empresas). Estos se construyen a partir de los rendimientos de los bonos emitidos por corporaciones. Dado que las empresas tienen menos solvencia crediticia que la mayoría de los gobiernos y la mayoría de los grandes bancos, estos rendimientos suelen ser más altos. Las curvas de rendimiento corporativas a menudo se cotizan en términos de un "diferencial de crédito" sobre la curva de swap relevante. Por ejemplo, el punto de la curva de rendimiento a cinco años para Vodafone podría cotizarse como LIBOR + 0,25%, donde el 0,25% (a menudo escrito como 25 puntos básicos o 25 pb) es el margen crediticio.

Curva de rendimiento normal

Curvas de rendimiento del Tesoro de EE. UU. Para distintas fechas. La curva de rendimiento de julio de 2000 (línea roja, arriba) está invertida.

Desde la era posterior a la Gran Depresión hasta el presente, la curva de rendimiento generalmente ha sido "normal", lo que significa que los rendimientos aumentan a medida que se alarga el vencimiento (es decir, la pendiente de la curva de rendimiento es positiva). Esta pendiente positiva refleja las expectativas de los inversionistas de que la economía crezca en el futuro y, lo que es más importante, de que este crecimiento esté asociado con una mayor expectativa de que la inflación aumente en el futuro en lugar de caer. Esta expectativa de mayor inflación genera expectativas de que el banco centralendurecerá la política monetaria al elevar las tasas de interés a corto plazo en el futuro para desacelerar el crecimiento económico y amortiguar la presión inflacionaria. También crea la necesidad de una prima de riesgo asociada con la incertidumbre sobre la tasa futura de inflación y el riesgo que esto representa para el valor futuro de los flujos de efectivo. Los inversores valoran estos riesgos en la curva de rendimiento exigiendo rendimientos más altos para vencimientos más futuros. En una curva de rendimiento con pendiente positiva, los prestamistas se benefician del paso del tiempo, ya que los rendimientos disminuyen a medida que los bonos se acercan al vencimiento (a medida que disminuye el rendimiento, aumenta el precio ); esto se conoce como rolldown y es un componente significativo de la ganancia en la inversión de renta fija (es decir, compra y venta, no necesariamente mantener hasta el vencimiento), particularmente si la inversión esapalancado . ^[3]

Sin embargo, una curva de rendimiento con pendiente positiva no siempre ha sido la norma. Durante gran parte del siglo XIX y principios del siglo XX, la economía estadounidense experimentó un crecimiento tendencial con deflación persistente , no inflación. Durante este período, la curva de rendimiento se invirtió típicamente, lo que refleja el hecho de que la deflación hizo que los flujos de efectivo actuales fueran menos valiosos que los flujos de efectivo futuros. Durante este período de deflación persistente, una curva de rendimiento "normal" tuvo una pendiente negativa.

Curva de rendimiento pronunciada

Históricamente, el rendimiento de los bonos del Tesoro a 20 años ha promediado aproximadamente dos puntos porcentuales por encima del de los bonos del Tesoro a tres meses. En situaciones en las que esta brecha aumenta (por ejemplo, el rendimiento de los bonos del Tesoro a 20 años aumenta mucho más que el rendimiento de los bonos del Tesoro a tres meses), se espera que la economía mejore rápidamente en el futuro. Este tipo de curva se puede ver al comienzo de una expansión económica (o después del final de una recesión). Aquí, el estancamiento económico habrá deprimido las tasas de interés a corto plazo; sin embargo, las tasas comienzan a subir una vez que la demanda de capital se restablece debido a la creciente actividad económica.

En enero de 2010, la brecha entre los rendimientos de las notas del Tesoro a dos años y las notas a 10 años se amplió a 2,92 puntos porcentuales, su nivel más alto.

Curva de rendimiento plana o con joroba

Se observa una curva de rendimiento plana cuando todos los vencimientos tienen rendimientos similares, mientras que una curva con joroba se produce cuando los rendimientos a corto y largo plazo son iguales y los rendimientos a mediano plazo son más altos que los de corto y largo plazo. Una curva plana envía señales de incertidumbre en la economía. Esta señal mixta puede volver a una curva normal o más tarde puede resultar en una curva invertida. No se puede explicar por la teoría del mercado segmentado que se analiza a continuación.

Curva de rendimiento invertida

La curva de rendimiento se invierte cuando las tasas a corto plazo superan las tasas a largo plazo.

Se produce una curva de rendimiento invertida cuando los rendimientos a largo plazo caen por debajo de los rendimientos a corto plazo.

En circunstancias inusuales, los inversores se conformarán con rendimientos más bajos asociados con la deuda a largo plazo de bajo riesgo si creen que la economía entrará en recesión en un futuro próximo. Por ejemplo, el S&P 500 experimentó una caída dramática a mediados de 2007, de la cual se recuperó completamente a principios de 2013. Los inversores que habían comprado bonos del Tesoro a 10 años en 2006 habrían recibido un rendimiento seguro y constante hasta 2015, posiblemente logrando mejores rendimientos que invertir en acciones durante ese período volátil.

La disertación de 1986 del economista Campbell Harvey ^[4] mostró que una curva de rendimiento invertida pronostica con precisión las recesiones estadounidenses. Una curva invertida ha indicado un empeoramiento de la situación económica en el futuro ocho veces desde 1970. ^[5]

Además de señalar potencialmente un declive económico, las curvas de rendimiento invertidas también implican que el mercado cree que la inflación se mantendrá baja. Esto se debe a que, incluso si hay una recesión, un bajo rendimiento de los bonos seguirá siendo compensado por una baja inflación. Sin embargo, factores técnicos, como una fuga hacia la calidad o situaciones económicas o cambiarias globales, pueden provocar un aumento en la demanda de bonos en el extremo largo de la curva de rendimiento, provocando la caída de las tasas a largo plazo. La caída de los tipos a largo plazo en presencia de un aumento de los tipos a corto plazo se conoce como "El dilema de Greenspan". ^[6]

Relación con el ciclo económico

Ver también: Margen de interés neto

La pendiente de la curva de rendimiento es uno de los predictores más poderosos del crecimiento económico futuro, la inflación y las recesiones. ^{[7] [8]} Una medida de la pendiente de la curva de rendimiento (es decir, la diferencia entre la tasa de los bonos del Tesoro a 10 años y la tasa de los bonos del Tesoro a 3 meses) se incluye en el Índice de estrés financiero publicado por la Fed de St. Louis . ^[9] Una medida diferente de la pendiente (es decir, la diferencia entre las tasas de los bonos del Tesoro a 10 años y la tasa de los fondos federales ) se incorpora al Índice de Indicadores Económicos Principales publicado por The Conference Board . ^[10]

Una curva de rendimiento invertida suele ser un presagio de recesión . Una curva de rendimiento con pendiente positiva suele ser un presagio de crecimiento inflacionario . El trabajo de Arturo Estrella y Tobias Adrián ha establecido el poder predictivo de una curva de rendimiento invertida para señalar una recesión. Sus modelos muestran que cuando la diferencia entre las tasas de interés a corto plazo (utilizan letras del Tesoro a 3 meses) y las tasas de interés a largo plazo (bonos del Tesoro a 10 años) al final de un ciclo de ajuste de la reserva federal es negativa o inferior a 93 puntos básicos positivos, suele producirse un aumento del paro. ^[11] La Fed de Nueva York publica una predicción de probabilidad de recesión mensual derivada de la curva de rendimiento y basada en el trabajo de Estrella.

Todas las recesiones en los EE. UU. Desde 1970 han estado precedidas por una curva de rendimiento invertida (10 años frente a 3 meses). Durante el mismo período de tiempo, cada aparición de una curva de rendimiento invertida ha sido seguida por una recesión según lo declarado por el comité de datación del ciclo económico de NBER . ^[12] La curva de rendimiento se invirtió en el primer semestre de 2019, por primera vez desde 2007. ^{[13] [14] [15]}

Recesiones después de la inversión de la curva de rendimiento (todos los valores en meses a menos que se indique lo contrario)

Recesión	Fecha de inicio de la inversión	Fecha de inicio de la recesión	Tiempo entre el inicio de la inversión y el inicio de la recesión	Duración de la inversión	Tiempo entre el inicio de la recesión y el anuncio de NBER	Tiempo entre la desinversión y el final de la recesión	Duración de la recesión	Tiempo entre el final de la recesión y el anuncio de NBER	Máximo de inversión (puntos básicos)
Recesión de 1970	Dic-68	Enero-70	13	15	N / A	8	11	N / A	−52
Recesión de 1974	Junio-73	Dic-73	6	18	N / A	3	dieciséis	N / A	−159
Recesión de 1980	Noviembre-78	Febrero-80	15	18	4	2	6	12	−328
Recesión de 1981-1982	Oct-80	Agosto 81	10	12	5	13	dieciséis	8	−351
Recesión de 1990	Junio ​​de 89	Agosto-90	14	7	8	14	8	21	−16
Recesión de 2001	Julio-00	Abr-01	9	7	7	9	8	20	−70
Recesión de 2008-2009	Agosto-06	Ene-08	17	10	11	24	18	15	−51
Recesión de COVID-19	19 de mayo	Mar-20	10 [1]	5	4 [2]	TBD	TBD	TBD	−52
Promedio desde 1969			12	12	7	10	12	15	−147
Desviación estándar desde 1969			3,83	4,72	2,74	7,50	4,78	5.45	138,96

Estrella y otros han postulado que la curva de rendimiento afecta el ciclo económico a través del balance de los bancos (o instituciones financieras de tipo bancario ). ^[16] Cuando se invierte la curva de rendimiento, los bancos a menudo se ven sorprendidos pagando más en depósitos a corto plazo (u otras formas de financiación mayorista a corto plazo) de lo que están haciendo en nuevos préstamos a largo plazo, lo que genera una pérdida de rentabilidad y desgana. prestar, lo que resulta en una crisis crediticia . Cuando la curva de rendimiento tiene una pendiente ascendente, los bancos pueden recibir depósitos a corto plazo de manera rentable y otorgar nuevos préstamos a largo plazo, por lo que están ansiosos por ofrecer crédito a los prestatarios. Esto eventualmente conduce a una burbuja crediticia .

Teoría

Hay tres teorías económicas principales que intentan explicar cómo varían los rendimientos con el vencimiento. Dos de las teorías son posiciones extremas, mientras que la tercera intenta encontrar un término medio entre las dos anteriores.

Hipótesis de expectativas de mercado (expectativas puras)

Artículo principal: hipótesis de expectativas

Esta hipótesis asume que los distintos vencimientos son sustitutos perfectosy sugiere que la forma de la curva de rendimiento depende de las expectativas de los participantes del mercado sobre las tasas de interés futuras. Supone que las fuerzas del mercado harán que las tasas de interés en varios términos de los bonos sean tales que el valor final esperado de una secuencia de inversiones a corto plazo sea igual al valor final conocido de una sola inversión a largo plazo. Si esto no se cumple, la teoría asume que los inversores demandarían rápidamente más de los bonos actuales a corto o largo plazo (lo que dé el mayor rendimiento esperado a largo plazo), y esto reduciría el rendimiento de los bonos actuales de ese plazo y aumentar el rendimiento de los bonos corrientes del otro plazo, de modo que se mantenga rápidamente la igualdad supuesta de los rendimientos esperados de los dos enfoques de inversión.

Con esto, las tasas de futuros , junto con la suposición de que las oportunidades de arbitraje serán mínimas en los mercados futuros, y que las tasas de futuros son estimaciones imparciales de las tasas al contado futuras, brindan suficiente información para construir una curva de rendimiento esperada completa. Por ejemplo, si los inversores tienen una expectativa de cuáles serán las tasas de interés a 1 año el próximo año, la tasa de interés actual a 2 años se puede calcular como la combinación de la tasa de interés a 1 año de este año por la tasa de interés esperada a 1 año del próximo año. . De manera más general, se supone que los rendimientos (rendimiento 1+) de un instrumento a largo plazo son iguales a la media geométrica de los rendimientos esperados de una serie de instrumentos a corto plazo:

${\displaystyle (1+i_{lt})^{n}=(1+i_{st}^{{\text{year }}1})(1+i_{st}^{{\text{year }}2})\cdots (1+i_{st}^{{\text{year }}n}),}$

donde i _st e i _lt son las tasas de interés esperadas a corto plazo y las reales a largo plazo (pero es la tasa real observada a corto plazo para el primer año).${\displaystyle i_{st}^{{\text{year}}1}}$

Esta teoría es consistente con la observación de que los rendimientos generalmente se mueven juntos. Sin embargo, no explica la persistencia en la forma de la curva de rendimiento.

Las deficiencias de la teoría de las expectativas incluyen que descuida el riesgo de tasa de interés inherente a la inversión en bonos.

Teoría de la prima de liquidez

La teoría de la prima de liquidez es una rama de la teoría de las expectativas puras. La teoría de la prima de liquidez afirma que las tasas de interés a largo plazo no solo reflejan las suposiciones de los inversores sobre las tasas de interés futuras, sino que también incluyen una prima por mantener bonos a largo plazo (los inversores prefieren los bonos a corto plazo a los bonos a largo plazo), denominada prima a largo plazo. o la prima de liquidez. Esta prima compensa a los inversores por el riesgo añadido de tener su dinero inmovilizado durante un período más largo, incluida la mayor incertidumbre de los precios. Debido a la prima por plazo, los rendimientos de los bonos a largo plazo tienden a ser más altos que los rendimientos a corto plazo y la curva de rendimiento se inclina hacia arriba. Los rendimientos a largo plazo también son más altos no solo por la prima de liquidez, sino también por la prima de riesgo agregada por el riesgo de incumplimiento por mantener un valor a largo plazo.La hipótesis de las expectativas del mercado se combina con la teoría de la prima de liquidez:

${\displaystyle (1+i_{lt})^{n}=rp_{n}+((1+i_{st}^{\mathrm {year} 1})(1+i_{st}^{\mathrm {year} 2})\cdots (1+i_{st}^{\mathrm {year} n})),}$

donde es la prima de riesgo asociada con un bono anual.${\displaystyle rp_{n}}$${\displaystyle {n}}$

Teoría del hábitat preferido

La teoría del hábitat preferido es una variante de la teoría de la prima de liquidez y establece que, además de las expectativas de las tasas de interés, los inversores tienen horizontes de inversión distintos y requieren una prima significativa para comprar bonos con vencimientos fuera de su hábitat o vencimiento "preferido". Los defensores de esta teoría creen que los inversores a corto plazo son más frecuentes en el mercado de renta fija y, por lo tanto, las tasas a más largo plazo tienden a ser más altas que las tasas a corto plazo, en su mayor parte, pero las tasas a corto plazo pueden ser más altas que tarifas a largo plazo ocasionalmente. Esta teoría es consistente tanto con la persistencia de la forma normal de la curva de rendimiento como con la tendencia de la curva de rendimiento a moverse hacia arriba y hacia abajo mientras conserva su forma.

Teoría de la segmentación del mercado

Esta teoría también se denomina hipótesis del mercado segmentado . En esta teoría, los instrumentos financieros de diferentes términos no son sustituibles . Como resultado, la oferta y la demanda en los mercados de instrumentos a corto y largo plazo se determina en gran medida de forma independiente. Los posibles inversores deciden de antemano si necesitan instrumentos a corto o largo plazo. Si los inversores prefieren que su cartera sea líquida, preferirán los instrumentos a corto plazo a los instrumentos a largo plazo. Por tanto, el mercado de instrumentos a corto plazo recibirá una mayor demanda. Una mayor demanda del instrumento implica precios más altos y menor rendimiento. Esto explica el hecho estilizadoque los rendimientos a corto plazo suelen ser más bajos que los rendimientos a largo plazo. Esta teoría explica el predominio de la forma de la curva de rendimiento normal. Sin embargo, debido a que la oferta y la demanda de los dos mercados son independientes, esta teoría no explica el hecho observado de que los rendimientos tienden a moverse juntos (es decir, desplazamientos hacia arriba y hacia abajo en la curva).

Desarrollo histórico de la teoría de la curva de rendimiento

El 15 de agosto de 1971, el presidente de los Estados Unidos, Richard Nixon, anunció que el dólar estadounidense ya no se basaría en el patrón oro , poniendo fin al sistema de Bretton Woods e iniciando la era de los tipos de cambio flotantes .

Los tipos de cambio flotantes complicaron la vida de los comerciantes de bonos, incluidos los de Salomon Brothers en la ciudad de Nueva York . A mediados de la década de 1970, alentados por el jefe de investigación de bonos de Salomon, Marty Liebowitz, los operadores comenzaron a pensar en los rendimientos de los bonos de nuevas formas. En lugar de pensar en cada vencimiento (un bono a diez años, un bono a cinco años, etc.) como un mercado separado, comenzaron a trazar una curva a través de todos sus rendimientos. El bit más cercano al tiempo presente se conoció como el extremo corto: los rendimientos de los bonos más alejados se convirtieron, naturalmente, en el extremo largo .

Los académicos tuvieron que ponerse al día con los profesionales en este asunto. Un desarrollo teórico importante provino de un matemático checo, Oldrich Vasicek , quien argumentó en un artículo de 1977 que los precios de los bonos a lo largo de la curva son impulsados ​​por el extremo corto (bajo una medida de martingala equivalente neutral al riesgo) y, en consecuencia, por las tasas de interés a corto plazo. El modelo matemático para el trabajo de Vasicek fue dado por un proceso de Ornstein-Uhlenbeck , pero desde entonces ha sido desacreditado porque el modelo predice una probabilidad positiva de que la tasa corta se vuelva negativa y es inflexible al crear curvas de rendimiento de diferentes formas. El modelo de Vasicek ha sido reemplazado por muchos modelos diferentes, incluido el modelo Hull-White(que permite parámetros variables en el tiempo en el proceso de Ornstein-Uhlenbeck), el modelo de Cox-Ingersoll-Ross , que es un proceso de Bessel modificado , y el marco de trabajo de Heath-Jarrow-Morton . También hay muchas modificaciones en cada uno de estos modelos, pero consulte el artículo sobre el modelo de tarifa reducida . Otro enfoque moderno es el modelo de mercado LIBOR., presentado por Brace, Gatarek y Musiela en 1997 y avanzado por otros más tarde. En 1996, un grupo de operadores de derivados liderados por Olivier Doria (entonces director de swaps en Deutsche Bank) y Michele Faissola, contribuyó a una extensión de las curvas de rendimiento de los swap en todas las principales divisas europeas. Hasta entonces el mercado daría precios hasta vencimientos a 15 años. El equipo extendió el vencimiento de las curvas de rendimiento europeas hasta 50 años (para la lira, el franco francés, el marco alemán, la corona danesa y muchas otras monedas, incluido el ecu). Esta innovación fue una importante contribución a la emisión de bonos cupón cero a largo plazo y la creación de hipotecas a largo plazo.

Construcción de la curva de rendimiento completa a partir de datos de mercado

See also: Bootstrapping (finance), Fixed-income attribution § Modeling the yield curve, and Multi-curve framework

Typical inputs to the money market curve

Type	Settlement date	Rate (%)
Cash	Overnight rate	5.58675
Cash	Tomorrow next rate	5.59375
Cash	1m	5.625
Cash	3m	5.71875
Future	Dec-97	5.76
Future	Mar-98	5.77
Future	Jun-98	5.82
Future	Sep-98	5.88
Future	Dec-98	6.00
Swap	2y	6.01253
Swap	3y	6.10823
Swap	4y	6.16
Swap	5y	6.22
Swap	7y	6.32
Swap	10y	6.42
Swap	15y	6.56
Swap	20y	6.56
Swap	30y	6.56
A list of standard instruments used to build a money market yield curve.
The data is for lending in US dollar, taken from October 6, 1997

The usual representation of the yield curve is in terms of a function P, defined on all future times t, such that P(t) represents the value today of receiving one unit of currency t years in the future. If P is defined for all future t then we can easily recover the yield (i.e. the annualized interest rate) for borrowing money for that period of time via the formula

${\displaystyle Y(t)=P(t)^{-1/t}-1.}$

The significant difficulty in defining a yield curve therefore is to determine the function P(t). P is called the discount factor function or the zero coupon bond.

Yield curves are built from either prices available in the bond market or the money market. Whilst the yield curves built from the bond market use prices only from a specific class of bonds (for instance bonds issued by the UK government) yield curves built from the money market use prices of "cash" from today's LIBOR rates, which determine the "short end" of the curve i.e. for t ≤ 3m, interest rate futures which determine the midsection of the curve (3m ≤ t ≤ 15m) and interest rate swaps which determine the "long end" (1y ≤ t ≤ 60y).

The example given in the table at the right is known as a LIBOR curve because it is constructed using either LIBOR rates or swap rates. A LIBOR curve is the most widely used interest rate curve as it represents the credit worth of private entities at about A+ rating, roughly the equivalent of commercial banks. If one substitutes the LIBOR and swap rates with government bond yields, one arrives at what is known as a government curve, usually considered the risk free interest rate curve for the underlying currency. The spread between the LIBOR or swap rate and the government bond yield, usually positive, meaning private borrowing is at a premium above government borrowing, of similar maturity is a measure of risk tolerance of the lenders. For the U. S. market, a common benchmark for such a spread is given by the so-called TED spread.

In either case the available market data provides a matrix A of cash flows, each row representing a particular financial instrument and each column representing a point in time. The (i,j)-th element of the matrix represents the amount that instrument i will pay out on day j. Let the vector F represent today's prices of the instrument (so that the i-th instrument has value F(i)), then by definition of our discount factor function P we should have that F = AP (this is a matrix multiplication). Actually, noise in the financial markets means it is not possible to find a P that solves this equation exactly, and our goal becomes to find a vector P such that

${\displaystyle AP=F+\varepsilon \,}$

where ${\displaystyle \varepsilon }$ is as small a vector as possible (where the size of a vector might be measured by taking its norm, for example).

Even if we can solve this equation, we will only have determined P(t) for those t which have a cash flow from one or more of the original instruments we are creating the curve from. Values for other t are typically determined using some sort of interpolation scheme.

Practitioners and researchers have suggested many ways of solving the A*P = F equation. It transpires that the most natural method – that of minimizing ${\displaystyle \epsilon }$ by least squares regression – leads to unsatisfactory results. The large number of zeroes in the matrix A mean that function P turns out to be "bumpy".

In their comprehensive book on interest rate modelling James and Webber note that the following techniques have been suggested to solve the problem of finding P:

1. Approximation using Lagrange polynomials
2. Fitting using parameterised curves (such as splines, the Nelson-Siegel family, the Svensson family, the exponential polynomial^[17] family or the Cairns restricted-exponential family of curves). Van Deventer, Imai and Mesler summarize three different techniques for curve fitting that satisfy the maximum smoothness of either forward interest rates, zero coupon bond prices, or zero coupon bond yields
3. Local regression using kernels
4. Linear programming

In the money market practitioners might use different techniques to solve for different areas of the curve. For example, at the short end of the curve, where there are few cashflows, the first few elements of P may be found by bootstrapping from one to the next. At the long end, a regression technique with a cost function that values smoothness might be used.

Effect on bond prices

Further information: Bond valuation

There is a time dimension to the analysis of bond values. A 10-year bond at purchase becomes a 9-year bond a year later, and the year after it becomes an 8-year bond, etc. Each year the bond moves incrementally closer to maturity, resulting in lower volatility and shorter duration and demanding a lower interest rate when the yield curve is rising. Since falling rates create increasing prices, the value of a bond initially will rise as the lower rates of the shorter maturity become its new market rate. Because a bond is always anchored by its final maturity, the price at some point must change direction and fall to par value at redemption.

A bond's market value at different times in its life can be calculated. When the yield curve is steep, the bond is predicted to have a large capital gain in the first years before falling in price later. When the yield curve is flat, the capital gain is predicted to be much less, and there is little variability in the bond's total returns over time.

Rising (or falling) interest rates rarely rise by the same amount all along the yield curve—the curve rarely moves up in parallel. Because longer-term bonds have a larger duration, a rise in rates will cause a larger capital loss for them, than for short-term bonds. But almost always, the long maturity's rate will change much less, flattening the yield curve. The greater change in rates at the short end will offset to some extent the advantage provided by the shorter bond's lower duration.

Long duration bonds tend to be mean reverting, meaning that they readily gravitate to a long-run average. The middle of the curve (5–10 years) will see the greatest percentage gain in yields if there is anticipated inflation even if interest rates have not changed. The long-end does not move quite as much percentage-wise because of the mean reverting properties.

The yearly 'total return' from the bond is a) the sum of the coupon's yield plus b) the capital gain from the changing valuation as it slides down the yield curve and c) any capital gain or loss from changing interest rates at that point in the yield curve.^[18]

See also

• Short-rate model
• Zero interest-rate policy
• Multi-curve framework

Notes

1. ^ The New York Federal Reserve recession prediction model uses the month average 10 year yield vs the month average 3 month bond equivalent yield to compute the term spread. Therefore, intra-day and daily inversions do not count as inversions unless they lead to an inversion on a monthly average basis. In December 2018, portions of the yield curve inverted for the first time since the 2008–2009 recession.^[19] However the 10-year vs 3-month portion did not invert until March 22, 2019 and it reverted to a positive slope by April 1, 2019 (i.e. only 8 days later).^[20][21] The month average of the 10-year vs 3-month (bond equivalent yield) difference reached zero basis points in May 2019. Both March and April 2019 had month-average spreads greater than zero basis points despite intra-day and daily inversions in March and April. Therefore, the table shows the 2019 inversion beginning from May 2019. Likewise, daily inversions in September 1998 did not result in negative term spreads on a month average basis and thus do not constitute a false alarm.

2. ^ The recession prediction model stipulated that the recession began in February 2020, one month before the World Health Organization declared COVID-19 a pandemic.

References

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2. Phillips, Matt (25 June 2018). "What's the Yield Curve? 'A Powerful Signal of Recessions' Has Wall Street's Attention". The New York Times.
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Articles

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• Rise in Rates Jolts Markets – Fed's Effort to Revive Economy Is Complicated by Fresh Jump in Borrowing Costs author = Liz Rappaport. Wall Street Journal. May 28, 2009. p. A.1

External links

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• Euro area yield curves – European Central Bank website
• Dynamic Yield Curve – This chart shows the relationship between interest rates and stocks over time.
• Yield curve: 10-Year Treasury Constant Maturity Minus 2-Year Treasury Constant Maturity, daily since June 1976, via FRED