Rotación de Jacobi


En álgebra lineal numérica , una rotación de Jacobi es una rotación , Q k , de un subespacio lineal bidimensional de un espacio de producto interno n - dimensional , elegido para poner a cero un par simétrico de entradas fuera de la diagonal de un n × n simétrico real matriz , A , cuando se aplica como una transformación de similitud :

Es la operación central en el algoritmo de valor propio de Jacobi , que es numéricamente estable y muy adecuado para la implementación en procesadores paralelos [ cita requerida ] .

Solo las filas k y ℓ y las columnas k y ℓ de A se verán afectadas, y esa A ′ permanecerá simétrica. Además, rara vez se calcula una matriz explícita para Q k ℓ ; en su lugar, se calculan los valores auxiliares y A se actualiza de forma eficiente y numéricamente estable. Sin embargo, como referencia, podemos escribir la matriz como

Es decir, Q k es una matriz de identidad excepto por cuatro entradas, dos en la diagonal ( q kk y q ℓℓ , ambas iguales ac ) y dos colocadas simétricamente fuera de la diagonal ( q k y q k , igual as y - s , respectivamente). Aquí c  = cos ϑ y s  = sin ϑ para algún ángulo ϑ; pero para aplicar la rotación, no se requiere el ángulo en sí. Usando la notación delta de Kronecker , las entradas de la matriz se pueden escribir

Suponga que h es un índice distinto de k o ℓ (que deben ser distintos). Entonces, la actualización de similitud produce, algebraicamente,

Para determinar las cantidades necesarias para la actualización, debemos resolver la ecuación fuera de la diagonal para cero ( Golub y Van Loan 1996 , §8.4). Esto implica que