La ecuación de John es una ecuación diferencial parcial ultrahiperbólica satisfecha por la transformada de rayos X de una función. Lleva el nombre de Fritz John .
Dada una función con soporte compacto, la transformada de rayos X es la integral en todas las líneas en. Parametrizaremos las rectas por pares de puntos, en cada línea y definir como el rayo se transforma donde
Tales funciones se caracterizan por las ecuaciones de John
que es probado por Fritz John para la dimensión tres y por Kurusa para dimensiones superiores.
En la tomografía computarizada de rayos X tridimensional, la ecuación de John se puede resolver para completar los datos faltantes, por ejemplo, cuando los datos se obtienen de una fuente puntual que atraviesa una curva, típicamente una hélice.
De manera más general, una ecuación diferencial parcial ultrahiperbólica (un término acuñado por Richard Courant ) es una ecuación diferencial parcial de segundo orden de la forma
dónde , tal que la forma cuadrática
se puede reducir mediante un cambio lineal de variables a la forma
No es posible especificar arbitrariamente el valor de la solución en una hipersuperficie no característica. Sin embargo, el artículo de John da ejemplos de variedades en las que una especificación arbitraria de u puede extenderse a una solución.
Referencias
- John, Fritz (1938), "La ecuación diferencial ultrahiperbólica con cuatro variables independientes" , Duke Mathematical Journal , 4 (2): 300–322, doi : 10.1215 / S0012-7094-38-00423-5 , ISSN 0012-7094 , Señor 1546052 , Zbl 0019.02404
- UNA. Kurusa, una caracterización del rango de la transformada de radón mediante un sistema de PDE, J. Math. Anal. Appl., 161 (1991), 218-226. doi : 10.1016 / 0022-247X (91) 90371-6
- SK Patch, condiciones de consistencia sobre datos 3D CT y la ecuación de onda, Phys. Medicina. Biol. 47 No 15 (7 de agosto de 2002) 2637-2650 doi : 10.1088 / 0031-9155 / 47/15/306