Osborne era el hijo de William Osborne de Cullenswood House. Entró en Trinity College , Dublín, en 1810 y se graduó de BA en 1815 y MD en 1818. Comenzó a ejercer en Dublín.
En 1823 fue elegido miembro del Colegio de Médicos y en 1825 profesor de Materia Médica en Park St. Medical School. Poco después fue nombrado médico para el Hospital de Sir Patrick Dun y el Hospital de Mercer . [2] En Dublín es recordado por los instrumentos que ideó y por sus estudios sobre enfermedades nerviosas.
Fue al menos un botánico aficionado que contribuyó con registros a La flora irlandesa de Katherine Baily (1833) y Flora hibernica de James Townsend Mackay (1836). Estos indican que visitó los condados de Clare y Galway, incluidas las islas Aran, así como Mayo antes de 1833.
Con su esposa Catherine tuvo un hijo, Verney, y una hija Florence (que se casó con el reverendo William H. Rambaut), quienes murieron siendo adultos jóvenes y están enterrados con él en la iglesia de St. Michan , en Dublín. [3]