Álgebra de Jordan
En álgebra abstracta , un álgebra de Jordan es un álgebra no asociativa sobre un campo cuya multiplicación satisface los siguientes axiomas:
El producto de dos elementos x e y en un álgebra de Jordan también se denota x ∘ y , particularmente para evitar confusiones con el producto de un álgebra asociativa relacionada .
Los axiomas implican [1] que un álgebra de Jordan es asociativa de potencias , lo que significa que es independiente de cómo ponemos entre paréntesis esta expresión. También implican [1] que para todos los enteros positivos m y n . Por lo tanto, podemos definir de manera equivalente un álgebra de Jordan como un álgebra conmutativa asociativa de potencias tal que para cualquier elemento , las operaciones de multiplicar por potencias todas conmutan.
Las álgebras de Jordan fueron introducidas por primera vez por Pascual Jordan ( 1933 ) para formalizar la noción de un álgebra de observables en la mecánica cuántica . Originalmente se los llamó "sistemas de números r", pero Abraham Adrian Albert ( 1946 ), quien comenzó el estudio sistemático de las álgebras generales de Jordan, los rebautizó como "álgebras de Jordan".
Dada un álgebra asociativa A (no de la característica 2), se puede construir un álgebra de Jordan A + usando el mismo espacio vectorial de suma subyacente. Note primero que un álgebra asociativa es un álgebra de Jordan si y solo si es conmutativa. Si no es conmutativa, podemos definir una nueva multiplicación en A para que sea conmutativa y, de hecho, convertirla en un álgebra de Jordan. La nueva multiplicación x ∘ y es el producto de Jordan :
Esto define un álgebra de Jordan A + , y llamamos a estas álgebras de Jordan, así como a cualquier subálgebra de estas álgebras de Jordan, álgebras de Jordan especiales . Todas las demás álgebras de Jordan se denominan álgebras de Jordan excepcionales . El teorema de Shirshov -Cohn establece que cualquier álgebra de Jordan con dos generadores es especial. [2] Relacionado con esto, el teorema de Macdonald establece que cualquier polinomio en tres variables, que tiene grado uno en una de las variables, y que se anula en cada álgebra de Jordan especial, se anula en cada álgebra de Jordan. [3]