El teorema de Kirchberger es un teorema en geometría discreta , sobre separabilidad lineal . La versión bidimensional del teorema establece que, si un conjunto finito de puntos rojos y azules en el plano euclidiano tiene la propiedad de que, por cada cuatro puntos, existe una línea que separa los puntos rojo y azul dentro de esos cuatro, entonces hay existe una sola línea que separa todos los puntos rojos de todos los puntos azules. Donald Watson expresa este resultado de manera más colorida, con una analogía de la granja:
Si las ovejas y las cabras están pastando en un campo y por cada cuatro animales existe una línea que separa a las ovejas de las cabras, entonces existe esa línea para todos los animales. [1]
De manera más general, para un número finito de puntos rojos y azules en -espacio euclidiano dimensional , si los puntos rojo y azul en cada subconjunto dede los puntos son linealmente separables, entonces todos los puntos rojos y todos los puntos azules son linealmente separables. Otra forma equivalente de expresar el resultado es que, si los cascos convexos de un número finito de puntos rojos y azules tienen una intersección no vacía, entonces existe un subconjunto depuntos para los cuales los cascos convexos de los puntos rojo y azul en los subconjuntos también se cruzan. [2] [3]
Historia y pruebas
El teorema lleva el nombre del matemático alemán Paul Kirchberger, un estudiante de David Hilbert en la Universidad de Göttingen, quien lo demostró en su disertación de 1902, [4] y lo publicó en 1903 en Mathematische Annalen , [5] como un teorema auxiliar utilizado en su análisis de la aproximación de Chebyshev . Un informe de Hilbert sobre la disertación afirma que algunos de los teoremas auxiliares de Kirchberger en esta parte de su disertación eran conocidos por Hermann Minkowski pero inéditos; no está claro si esta afirmación se aplica al resultado que ahora se conoce como teorema de Kirchberger. [6]
Desde el trabajo de Kirchberger, se han publicado otras pruebas del teorema de Kirchberger, incluidas pruebas simples basadas en el teorema de Helly sobre intersecciones de conjuntos convexos , [7] basadas en el teorema de Carathéodory sobre la pertenencia a cascos convexos , [2] o basadas en principios relacionados con el teorema de Radon. en intersecciones de cascos convexos. [3] Sin embargo, el teorema de Helly, el teorema de Carathéodory y el teorema de Radon son posteriores al teorema de Kirchberger.
Una versión reforzada del teorema de Kirchberger corrige uno de los puntos dados y solo considera subconjuntos de puntos que incluyen el punto fijo. Si los puntos rojo y azul en cada uno de estos subconjuntos son linealmente separables, entonces todos los puntos rojos y todos los puntos azules son linealmente separables. [1] El teorema también es válido si los puntos rojos y los puntos azules forman conjuntos compactos que no son necesariamente finitos. [3]
Mediante el uso de la proyección estereográfica , el teorema de Kirchberger se puede utilizar para probar un resultado similar para la separabilidad circular o esférica: si cada cinco puntos de un número finito de puntos rojos y azules en el plano pueden tener sus puntos rojo y azul separados por un círculo, o cadalos puntos en dimensiones superiores pueden tener sus puntos rojo y azul separados por una hiperesfera , luego todos los puntos rojos y azules pueden separarse de la misma manera. [8]
Ver también
- Teorema de separación de hiperplano , el teorema de que los conjuntos convexos compactos disjuntos son linealmente separables
Referencias
- ↑ a b Watson, Donald (1973), "Un refinamiento de los teoremas de Kirchberger y Carathéodory", Australian Mathematical Society , 15 (2): 190-192, doi : 10.1017 / S1446788700012957 , MR 0333980
- ^ a b Shimrat, Moshe (1955), "Prueba simple de un teorema de P. Kirchberger" , Pacific Journal of Mathematics , 5 (3): 361–362, doi : 10.2140 / pjm.1955.5.361 , MR 0071796
- ^ a b c Webster, RJ (1983), "Otra prueba simple del teorema de Kirchberger", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 92 (1): 299–300, doi : 10.1016 / 0022-247X (83) 90286-X , MR 0694178
- ^ Paul Kirchberger en el Proyecto de genealogía matemática
- ^ Kirchberger, Paul (1903), "Über Tchebychefsche Annäherungsmethoden" , Mathematische Annalen , 57 (4): 509–540, doi : 10.1007 / BF01445182 , MR 1511222 , S2CID 120774553
- ^ Steffens, Karl-Georg, "4.3 Kirchberger's Thesis", The History of Approximation Theory: From Euler to Bernstein , Boston: Birkhäuser, págs. 135-137, doi : 10.1007 / 0-8176-4475-x_4 , MR 2190312
- ^ Rademacher, Hans ; Schoenberg, IJ (1950), "Teoremas de Helly sobre dominios convexos y problema de aproximación de Tchebycheff", Canadian Journal of Mathematics , 2 : 245-256, doi : 10.4153 / cjm-1950-022-8 , MR 0035044
- ^ Lay, SR (1971), "Sobre la separación por superficies esféricas", American Mathematical Monthly , 78 (10): 1112-1113, doi : 10.2307 / 2316320 , JSTOR 2316320 , MR 0300201
Otras lecturas
- Bergold, Helena; Felsner, Stefan; Scheucher, Manfred; Schröder, Felix; Steiner, Raphael (2020), "Los dibujos topológicos se encuentran con los teoremas clásicos de la geometría convexa", Actas del 28º Simposio Internacional sobre Dibujo de Gráficos y Visualización de Redes , arXiv : 2005.12568
- Houle, Michael E. (1991), "Teoremas sobre la existencia de superficies de separación", Geometría discreta y computacional , 6 (1): 49–56, doi : 10.1007 / BF02574673 , MR 1073072 , S2CID 1992810
- Lángi, Zsolt; Naszódi, Márton (2008), "Teoremas tipo Kirchberger para la separación por dominios convexos", Periodica Mathematica Hungarica , 57 (2): 185-196, doi : 10.1007 / s10998-008-8185-6 , MR 2469604 , S2CID 15506550
- Netrebin, AG; Shashkin, Yu. A. (1985), "Teoremas del tipo Kirchberger y Carathéodory en espacios de convexidad generalizada", Doklady Akademii Nauk SSSR , 283 (5): 1085–1088, MR 0802134
- Rennie, BC (1970), "Un teorema como el de Kirchberger", Journal of the London Mathematical Society , Segunda serie, 2 : 40–44, doi : 10.1112 / jlms / s2-2.1.40 , MR 0250192